Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochlkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochlkr 40767
Description: Equivalent conditions for the closure of a kernel to be a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochlkr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochlkr.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochlkr.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochlkr.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
dochlkr.y π‘Œ = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
dochlkr.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
dochlkr.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dochlkr.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
dochlkr (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ ↔ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ)))

Proof of Theorem dochlkr
StepHypRef Expression
1 dochlkr.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
3 dochlkr.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
4 dochlkr.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
5 dochlkr.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
6 dochlkr.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
75, 6, 1dvhlmod 40492 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 dochlkr.g . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
92, 3, 4, 7, 8lkrssv 38477 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ))
10 dochlkr.o . . . . . . . . 9 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
115, 6, 2, 10dochocss 40748 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
121, 9, 11syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
14 dochlkr.y . . . . . . 7 π‘Œ = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
155, 6, 1dvhlvec 40491 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
177adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ)
192, 14, 17, 18lshpne 38363 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  (Baseβ€˜π‘ˆ))
2019ex 412 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  (Baseβ€˜π‘ˆ)))
212, 14, 3, 4, 15, 8lkrshpor 38488 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ ∨ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
2221ord 861 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Β¬ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
23 2fveq3 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(Baseβ€˜π‘ˆ))))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(Baseβ€˜π‘ˆ))))
251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
265, 6, 10, 2, 25dochoc1 40743 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(Baseβ€˜π‘ˆ))) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2724, 26eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (Baseβ€˜π‘ˆ))
2827ex 412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
2922, 28syld 47 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Β¬ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (Baseβ€˜π‘ˆ)))
3029necon1ad 2951 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) β‰  (Baseβ€˜π‘ˆ) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ))
3120, 30syld 47 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ))
3231imp 406 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ)
3314, 16, 32, 18lshpcmp 38369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) βŠ† ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ↔ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))))
3413, 33mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
3534eqcomd 2732 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
3635, 32jca 511 . . 3 ((πœ‘ ∧ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ))
3736ex 412 . 2 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ)))
38 eleq1 2815 . . 3 (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ))
3938biimpar 477 . 2 ((( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ)
4037, 39impbid1 224 1 (πœ‘ β†’ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) ∈ π‘Œ ↔ (( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) ∈ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  LModclmod 20704  LVecclvec 20948  LSHypclsh 38356  LFnlclfn 38438  LKerclk 38466  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  ocHcoch 40729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730
This theorem is referenced by:  dochkrshp  40768  dochkrshp2  40769  mapdordlem1a  41016  mapdordlem2  41019
  Copyright terms: Public domain W3C validator