Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lclkrlem2h Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lclkrlem2h 39173
Description: Lemma for lclkr 39192. Eliminate the (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽 hypothesis. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lclkrlem2f.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2f.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2f.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2f.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lclkrlem2f.q 𝑄 = (0g𝑆)
lclkrlem2f.z 0 = (0g𝑈)
lclkrlem2f.a = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2f.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2f.j 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
lclkrlem2f.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2f.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2f.p + = (+g𝐷)
lclkrlem2f.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lclkrlem2f.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2f.e (𝜑𝐸𝐹)
lclkrlem2f.g (𝜑𝐺𝐹)
lclkrlem2f.le (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
lclkrlem2f.lg (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
lclkrlem2f.kb (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
lclkrlem2f.nx (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
lclkrlem2h.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2h.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2h.ne (𝜑 → (𝐿𝐸) ≠ (𝐿𝐺))
Assertion
Ref Expression
lclkrlem2h (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2h
StepHypRef Expression
1 lclkrlem2f.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lclkrlem2f.o . . 3 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lclkrlem2f.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lclkrlem2f.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lclkrlem2f.s . . 3 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
6 lclkrlem2f.q . . 3 𝑄 = (0g𝑆)
7 lclkrlem2f.z . . 3 0 = (0g𝑈)
8 lclkrlem2f.a . . 3 = (LSSum‘𝑈)
9 lclkrlem2f.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10 lclkrlem2f.f . . 3 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 lclkrlem2f.j . . 3 𝐽 = (LSHyp‘𝑈)
12 lclkrlem2f.l . . 3 𝐿 = (LKer‘𝑈)
13 lclkrlem2f.d . . 3 𝐷 = (LDual‘𝑈)
14 lclkrlem2f.p . . 3 + = (+g𝐷)
15 lclkrlem2f.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1615adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 lclkrlem2f.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1817adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19 lclkrlem2f.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
2019adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → 𝐸𝐹)
21 lclkrlem2f.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐹)
2221adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → 𝐺𝐹)
23 lclkrlem2f.le . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
2423adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐿𝐸) = ( ‘{𝑋}))
25 lclkrlem2f.lg . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
2625adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑌}))
27 lclkrlem2f.kb . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
2827adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ((𝐸 + 𝐺)‘𝐵) = 𝑄)
29 lclkrlem2f.nx . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
3029adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (¬ 𝑋 ∈ ( ‘{𝐵}) ∨ ¬ 𝑌 ∈ ( ‘{𝐵})))
31 lclkrlem2h.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3231adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
33 lclkrlem2h.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
3433adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
35 lclkrlem2h.ne . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐸) ≠ (𝐿𝐺))
3635adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐿𝐸) ≠ (𝐿𝐺))
37 simpr 488 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽)
381, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 37lclkrlem2g 39172 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
391, 3, 2, 4, 15dochoc1 39020 . . . 4 (𝜑 → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
4039adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ( ‘( 𝑉)) = 𝑉)
411, 3, 15dvhlvec 38768 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
421, 3, 15dvhlmod 38769 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4310, 13, 14, 42, 19, 21ldualvaddcl 36789 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
444, 11, 10, 12, 41, 43lkrshpor 36766 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽 ∨ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉))
4544orcanai 1002 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
4645fveq2d 6680 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))) = ( 𝑉))
4746fveq2d 6680 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ‘( 𝑉)))
4840, 47, 453eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ 𝐽) → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
4938, 48pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 846   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cdif 3840  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7172  Basecbs 16588  +gcplusg 16670  Scalarcsca 16673  0gc0g 16818  LSSumclsm 18879  LSpanclspn 19864  LSHypclsh 36634  LFnlclfn 36716  LKerclk 36744  LDualcld 36782  HLchlt 37009  LHypclh 37643  DVecHcdvh 38737  ocHcoch 39006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-riotaBAD 36612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-tpos 7923  df-undef 7970  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-4 11783  df-5 11784  df-6 11785  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-struct 16590  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-mulr 16684  df-sca 16686  df-vsca 16687  df-0g 16820  df-mre 16962  df-mrc 16963  df-acs 16965  df-proset 17656  df-poset 17674  df-plt 17686  df-lub 17702  df-glb 17703  df-join 17704  df-meet 17705  df-p0 17767  df-p1 17768  df-lat 17774  df-clat 17836  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-submnd 18075  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-cntz 18567  df-oppg 18594  df-lsm 18881  df-cmn 19028  df-abl 19029  df-mgp 19361  df-ur 19373  df-ring 19420  df-oppr 19497  df-dvdsr 19515  df-unit 19516  df-invr 19546  df-dvr 19557  df-drng 19625  df-lmod 19757  df-lss 19825  df-lsp 19865  df-lvec 19996  df-lsatoms 36635  df-lshyp 36636  df-lcv 36678  df-lfl 36717  df-lkr 36745  df-ldual 36783  df-oposet 36835  df-ol 36837  df-oml 36838  df-covers 36925  df-ats 36926  df-atl 36957  df-cvlat 36981  df-hlat 37010  df-llines 37157  df-lplanes 37158  df-lvols 37159  df-lines 37160  df-psubsp 37162  df-pmap 37163  df-padd 37455  df-lhyp 37647  df-laut 37648  df-ldil 37763  df-ltrn 37764  df-trl 37818  df-tgrp 38402  df-tendo 38414  df-edring 38416  df-dveca 38662  df-disoa 38688  df-dvech 38738  df-dib 38798  df-dic 38832  df-dih 38888  df-doch 39007  df-djh 39054
This theorem is referenced by:  lclkrlem2i  39174
  Copyright terms: Public domain W3C validator