Theorem dochkrshp 42443

Description: The closure of a kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkrshp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkrshp.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkrshp.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkrshp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochkrshp.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
dochkrshp	⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌))

Proof of Theorem dochkrshp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺))
2		dochkrshp.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dochkrshp.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochkrshp.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dochkrshp.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		dochkrshp.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
7		dochkrshp.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		2fveq3 6890	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
10	2, 4, 3, 5, 7	dochoc1 42418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
11	9, 10	sylan9eqr 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑉)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
13	11, 12	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
14	13	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
15	14	necon3d 2977	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉))
16		df-ne 2957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
17		dochkrshp.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
18		dochkrshp.l	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
19	2, 4, 7	dvhlvec 42166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
20		dochkrshp.g	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
21	5, 6, 17, 18, 19, 20	lkrshpor 40164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌 ∨ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
22	21	orcomd 885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 ∨ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌))
23	22	ord 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉 → (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌))
24	16, 23	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 → (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌))
25	15, 24	syld 48	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺) → (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌))
26	25	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)
27	2, 3, 4, 5, 6, 8, 26	dochshpncl 42441	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺)) → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑉))
28	1, 27	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑉)
29	28	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ (𝐿‘𝐺) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑉))
30	29	necon1d 2978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
31	11	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = 𝑉))
32	31	necon3ad 2969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → ¬ (𝐿‘𝐺) = 𝑉))
33	32, 23	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌))
34	30, 33	jcad 522	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)))
35	2, 3, 4, 17, 6, 18, 7, 20	dochlkr 42442	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 ↔ (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺) ∧ (𝐿‘𝐺) ∈ 𝑌)))
36	34, 35	sylibrd 262	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌))
37	2, 4, 7	dvhlmod 42167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
38	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
39		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌)
40	5, 6, 38, 39	lshpne 40039	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉)
41	40	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉))
42	36, 41	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) ∈ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  LModclmod 21135  LSHypclsh 40032  LFnlclfn 40114  LKerclk 40142  HLchlt 40407  LHypclh 41041  DVecHcdvh 42135  ocHcoch 42404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40033  df-lshyp 40034  df-lfl 40115  df-lkr 40143  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216  df-tendo 41812  df-edring 41814  df-disoa 42086  df-dvech 42136  df-dib 42196  df-dic 42230  df-dih 42286  df-doch 42405

This theorem is used by:  dochkrshp2  42444  dochkrsat  42512