Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch1 38442
Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 38792 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch1.p = (LSSum‘𝑊)
lsatexch1.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch1.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatexch1.u (𝜑𝑄𝐴)
lsatexch1.q (𝜑𝑅𝐴)
lsatexch1.r (𝜑𝑆𝐴)
lsatexch1.l (𝜑𝑄 ⊆ (𝑆 𝑅))
lsatexch1.z (𝜑𝑄𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsatexch1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑆 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch1
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatexch1.p . 2 = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2727 . 2 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 lsatexch1.a . 2 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5 lsatexch1.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lveclmod 20973 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lsatexch1.r . . 3 (𝜑𝑆𝐴)
91, 4, 7, 8lsatlssel 38393 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 lsatexch1.u . 2 (𝜑𝑄𝐴)
11 lsatexch1.q . 2 (𝜑𝑅𝐴)
12 lsatexch1.l . 2 (𝜑𝑄 ⊆ (𝑆 𝑅))
13 lsatexch1.z . . . 4 (𝜑𝑄𝑆)
1413necomd 2991 . . 3 (𝜑𝑆𝑄)
153, 4, 5, 8, 10lsatnem0 38441 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑄 ↔ (𝑆𝑄) = {(0g𝑊)}))
1614, 15mpbid 231 . 2 (𝜑 → (𝑆𝑄) = {(0g𝑊)})
171, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16lsatexch 38439 1 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑆 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  cin 3943  wss 3944  {csn 4624  cfv 6542  (class class class)co 7414  0gc0g 17406  LSSumclsm 19573  LModclmod 20725  LSubSpclss 20797  LVecclvec 20969  LSAtomsclsa 38370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17408  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19062  df-cntz 19252  df-oppg 19281  df-lsm 19575  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20255  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-drng 20608  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-lvec 20970  df-lsatoms 38372  df-lcv 38415
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  38445  dochexmidlem3  40859
  Copyright terms: Public domain W3C validator