Theorem lsatexch1 39039

Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 39389 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch1.u	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch1.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch1.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
lsatexch1.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
lsatexch1.z	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsatexch1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatexch1.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lsatexch1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatexch1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21013	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatexch1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
9	1, 4, 7, 8	lsatlssel 38990	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lsatexch1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		lsatexch1.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
12		lsatexch1.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
13		lsatexch1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 2980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑄)
15	3, 4, 5, 8, 10	lsatnem0 39038	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑄 ↔ (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)}))
16	14, 15	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)})
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16	lsatexch 39036	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  {csn 4589  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0_gc0g 17402  LSSumclsm 19564  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LVecclvec 21009  LSAtomsclsa 38967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-lsm 19566  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lvec 21010  df-lsatoms 38969  df-lcv 39012

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  39042  dochexmidlem3  41456