Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatexch1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatexch1 37537
Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 37887 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatexch1.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lsatexch1.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatexch1.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatexch1.u (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch1.q (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch1.r (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
lsatexch1.l (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (𝑆 βŠ• 𝑅))
lsatexch1.z (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑆)
Assertion
Ref Expression
lsatexch1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 βŠ• 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch1
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatexch1.p . 2 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
3 eqid 2737 . 2 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
4 lsatexch1.a . 2 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
5 lsatexch1.w . 2 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20583 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lsatexch1.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
91, 4, 7, 8lsatlssel 37488 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
10 lsatexch1.u . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 lsatexch1.q . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
12 lsatexch1.l . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 βŠ† (𝑆 βŠ• 𝑅))
13 lsatexch1.z . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 β‰  𝑆)
1413necomd 3000 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 β‰  𝑄)
153, 4, 5, 8, 10lsatnem0 37536 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 β‰  𝑄 ↔ (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0gβ€˜π‘Š)}))
1614, 15mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0gβ€˜π‘Š)})
171, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16lsatexch 37534 1 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† (𝑆 βŠ• 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0gc0g 17328  LSSumclsm 19423  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LVecclvec 20579  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-lcv 37510
This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  37540  dochexmidlem3  39954
  Copyright terms: Public domain W3C validator