Theorem lsatexch1 37069

Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 37418 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch1.u	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch1.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch1.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
lsatexch1.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
lsatexch1.z	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsatexch1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatexch1.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lsatexch1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatexch1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 20379	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatexch1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
9	1, 4, 7, 8	lsatlssel 37020	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lsatexch1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		lsatexch1.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
12		lsatexch1.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
13		lsatexch1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 3001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑄)
15	3, 4, 5, 8, 10	lsatnem0 37068	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑄 ↔ (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)}))
16	14, 15	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)})
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16	lsatexch 37066	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  {csn 4567  ‘cfv 6432  (class class class)co 7272  0_gc0g 17161  LSSumclsm 19250  LModclmod 20134  LSubSpclss 20204  LVecclvec 20375  LSAtomsclsa 36997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-0g 17163  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-subg 18763  df-cntz 18934  df-oppg 18961  df-lsm 19252  df-cmn 19399  df-abl 19400  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-invr 19925  df-drng 20004  df-lmod 20136  df-lss 20205  df-lsp 20245  df-lvec 20376  df-lsatoms 36999  df-lcv 37042

This theorem is referenced by:  lsatcvatlem  37072  dochexmidlem3  39485