Theorem lsatexch1 40146

Description: The atom exch1ange property. (hlatexch1 40495 analog.) (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatexch1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lsatexch1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatexch1.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatexch1.u	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
lsatexch1.q	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
lsatexch1.r	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
lsatexch1.l	⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
lsatexch1.z	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lsatexch1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

Proof of Theorem lsatexch1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatexch1.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
4		lsatexch1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
5		lsatexch1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21381	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lsatexch1.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
9	1, 4, 7, 8	lsatlssel 40097	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10		lsatexch1.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
11		lsatexch1.q	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐴)
12		lsatexch1.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑅))
13		lsatexch1.z	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑄)
15	3, 4, 5, 8, 10	lsatnem0 40145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ≠ 𝑄 ↔ (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)}))
16	14, 15	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑄) = {(0g‘𝑊)})
17	1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 16	lsatexch 40143	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4583  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0_gc0g 17610  LSSumclsm 19848  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  LVecclvec 21377  LSAtomsclsa 40074

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40076  df-lcv 40119

This theorem is used by:  lsatcvatlem  40149  dochexmidlem3  42562