Theorem dochexmidlem3 38043

Description: Lemma for dochexmid 38049. Use atom exchange lsatexch1 35627 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochexmidlem1.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochexmidlem1.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochexmidlem1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochexmidlem1.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
dochexmidlem1.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dochexmidlem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
dochexmidlem1.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
dochexmidlem1.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochexmidlem1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dochexmidlem3.pp	⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ 𝐴)
dochexmidlem3.qq	⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ 𝐴)
dochexmidlem3.rr	⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
dochexmidlem3.ql	⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
dochexmidlem3.rl	⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
dochexmidlem3.pl	⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑝))

Assertion

Ref	Expression
dochexmidlem3	⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem dochexmidlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochexmidlem1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochexmidlem1.o	. 2 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochexmidlem1.u	. 2 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochexmidlem1.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		dochexmidlem1.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
6		dochexmidlem1.n	. 2 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		dochexmidlem1.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
8		dochexmidlem1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9		dochexmidlem1.k	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		dochexmidlem1.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
11		dochexmidlem3.pp	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ∈ 𝐴)
12		dochexmidlem3.qq	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ∈ 𝐴)
13		dochexmidlem3.rr	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ∈ 𝐴)
14		dochexmidlem3.ql	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
15		dochexmidlem3.rl	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑟 ⊆ 𝑋)
16	1, 3, 9	dvhlvec 37690	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
17		dochexmidlem3.pl	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑝))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	dochexmidlem1 38041	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑞 ≠ 𝑟)
19	7, 8, 16, 12, 11, 13, 17, 18	lsatexch1 35627	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑟 ⊕ 𝑞))
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19	dochexmidlem2 38042	1 ⊢ (𝜑 → 𝑝 ⊆ (𝑋 ⊕ ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3831  ‘cfv 6190  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  LSSumclsm 18523  LSubSpclss 19428  LSpanclspn 19468  LSAtomsclsa 35555  HLchlt 35931  LHypclh 36565  DVecHcdvh 37659  ocHcoch 37928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-riotaBAD 35534

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-tpos 7697  df-undef 7744  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-map 8210  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-n0 11711  df-z 11797  df-uz 12062  df-fz 12712  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-sets 16349  df-ress 16350  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-0g 16574  df-mre 16718  df-mrc 16719  df-acs 16721  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-mgm 17713  df-sgrp 17755  df-mnd 17766  df-submnd 17807  df-grp 17897  df-minusg 17898  df-sbg 17899  df-subg 18063  df-cntz 18221  df-oppg 18248  df-lsm 18525  df-cmn 18671  df-abl 18672  df-mgp 18966  df-ur 18978  df-ring 19025  df-oppr 19099  df-dvdsr 19117  df-unit 19118  df-invr 19148  df-dvr 19159  df-drng 19230  df-lmod 19361  df-lss 19429  df-lsp 19469  df-lvec 19600  df-lsatoms 35557  df-lcv 35600  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336  df-edring 37338  df-disoa 37610  df-dvech 37660  df-dib 37720  df-dic 37754  df-dih 37810  df-doch 37929

This theorem is referenced by:  dochexmidlem4  38044