Theorem dochsnkr2 42050

Description: Kernel of the explicit functional 𝐺 determined by a nonzero vector 𝑋. Compare the more general lshpkr 39694. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr2.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochsnkr2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochsnkr2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochsnkr2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochsnkr2.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
dochsnkr2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝐷,𝑘   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochsnkr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		dochsnkr2.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
3		eqid 2761	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2761	. 2 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2761	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsnkr2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dochsnkr2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dochsnkr2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 41686	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10		dochsnkr2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		dochsnkr2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		dochsnkr2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	6, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12	dochsnshp 42030	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
14	12	eldifad 3916	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	6, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12	dochexmidat 42036	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
16		dochsnkr2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
17		dochsnkr2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
18		dochsnkr2.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		dochsnkr2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
20		dochsnkr2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkr 39694	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3901  {csn 4581   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6515  ℩crio 7346  (class class class)co 7390  Basecbs 17226  +_gcplusg 17267  Scalarcsca 17270   ·_𝑠 cvsca 17271  0_gc0g 17449  LSSumclsm 19655  LSpanclspn 21016  LSHypclsh 39552  LKerclk 39662  HLchlt 39927  LHypclh 40561  DVecHcdvh 41655  ocHcoch 41924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-riotaBAD 39530

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-tpos 8199  df-undef 8246  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-map 8803  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12477  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-mulr 17281  df-sca 17283  df-vsca 17284  df-0g 17451  df-proset 18307  df-poset 18326  df-plt 18341  df-lub 18357  df-glb 18358  df-join 18359  df-meet 18360  df-p0 18436  df-p1 18437  df-lat 18445  df-clat 18512  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-sbg 18961  df-subg 19146  df-cntz 19338  df-lsm 19657  df-cmn 19803  df-abl 19804  df-mgp 20168  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20363  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20758  df-lmod 20907  df-lss 20977  df-lsp 21017  df-lvec 21148  df-lsatoms 39553  df-lshyp 39554  df-lfl 39635  df-lkr 39663  df-oposet 39753  df-ol 39755  df-oml 39756  df-covers 39843  df-ats 39844  df-atl 39875  df-cvlat 39899  df-hlat 39928  df-llines 40075  df-lplanes 40076  df-lvols 40077  df-lines 40078  df-psubsp 40080  df-pmap 40081  df-padd 40373  df-lhyp 40565  df-laut 40566  df-ldil 40681  df-ltrn 40682  df-trl 40736  df-tgrp 41320  df-tendo 41332  df-edring 41334  df-dveca 41580  df-disoa 41606  df-dvech 41656  df-dib 41716  df-dic 41750  df-dih 41806  df-doch 41925  df-djh 41972

This theorem is referenced by:  dochsnkr2cl  42051  lcfl6lem  42075  lcfl7lem  42076  lcfl6  42077  lcfrlem11  42130