Theorem dochsnkr2 42305

Description: Kernel of the explicit functional 𝐺 determined by a nonzero vector 𝑋. Compare the more general lshpkr 39949. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr2.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochsnkr2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochsnkr2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochsnkr2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochsnkr2.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
dochsnkr2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝐷,𝑘   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐷(𝑤, 𝑣)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐺(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐻(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐾(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝐿(𝑤, 𝑣, 𝑘)   𝑉(𝑤, 𝑘)   𝑊(𝑤, 𝑣, 𝑘)   0 (𝑤, 𝑣, 𝑘)

Proof of Theorem dochsnkr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		dochsnkr2.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
3		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2765	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsnkr2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dochsnkr2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dochsnkr2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 41941	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10		dochsnkr2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		dochsnkr2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		dochsnkr2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	6, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12	dochsnshp 42285	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
14	12	eldifad 3918	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	6, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12	dochexmidat 42291	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
16		dochsnkr2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
17		dochsnkr2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
18		dochsnkr2.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		dochsnkr2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
20		dochsnkr2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkr 39949	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3903  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  0_gc0g 17514  LSSumclsm 19748  LSpanclspn 21142  LSHypclsh 39807  LKerclk 39917  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910  ocHcoch 42179

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-lshyp 39809  df-lfl 39890  df-lkr 39918  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tgrp 41575  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-dveca 41835  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061  df-doch 42180  df-djh 42227

This theorem is used by:  dochsnkr2cl  42306  lcfl6lem  42330  lcfl7lem  42331  lcfl6  42332  lcfrlem11  42385