Theorem dochsnkr2 41472

Description: Kernel of the explicit functional 𝐺 determined by a nonzero vector 𝑋. Compare the more general lshpkr 39115. (Contributed by NM, 27-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr2.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dochsnkr2.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
dochsnkr2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr2.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dochsnkr2.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
dochsnkr2.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
dochsnkr2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr2	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤, +   𝐷,𝑘   ⊥ ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑅,𝑘,𝑣   · ,𝑘,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑤,𝑣)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem dochsnkr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr2.v	. 2 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		dochsnkr2.a	. 2 ⊢ + = (+g‘𝑈)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
6		dochsnkr2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7		dochsnkr2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8		dochsnkr2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	6, 7, 8	dvhlvec 41108	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
10		dochsnkr2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
11		dochsnkr2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		dochsnkr2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	6, 10, 7, 1, 11, 5, 8, 12	dochsnshp 41452	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
14	12	eldifad 3917	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
15	6, 10, 7, 1, 11, 3, 4, 8, 12	dochexmidat 41458	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = 𝑉)
16		dochsnkr2.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
17		dochsnkr2.r	. 2 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝐷)
18		dochsnkr2.t	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
19		dochsnkr2.g	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (℩𝑘 ∈ 𝑅 ∃𝑤 ∈ ( ⊥ ‘{𝑋})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑋))))
20		dochsnkr2.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
21	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	lshpkr 39115	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3902  {csn 4579   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  ℩crio 7309  (class class class)co 7353  Basecbs 17139  +_gcplusg 17180  Scalarcsca 17183   ·_𝑠 cvsca 17184  0_gc0g 17362  LSSumclsm 19532  LSpanclspn 20893  LSHypclsh 38973  LKerclk 39083  HLchlt 39348  LHypclh 39983  DVecHcdvh 41077  ocHcoch 41346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-riotaBAD 38951

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-0g 17364  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-lsm 19534  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-oppr 20241  df-dvdsr 20261  df-unit 20262  df-invr 20292  df-dvr 20305  df-drng 20635  df-lmod 20784  df-lss 20854  df-lsp 20894  df-lvec 21026  df-lsatoms 38974  df-lshyp 38975  df-lfl 39056  df-lkr 39084  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-llines 39497  df-lplanes 39498  df-lvols 39499  df-lines 39500  df-psubsp 39502  df-pmap 39503  df-padd 39795  df-lhyp 39987  df-laut 39988  df-ldil 40103  df-ltrn 40104  df-trl 40158  df-tgrp 40742  df-tendo 40754  df-edring 40756  df-dveca 41002  df-disoa 41028  df-dvech 41078  df-dib 41138  df-dic 41172  df-dih 41228  df-doch 41347  df-djh 41394

This theorem is referenced by:  dochsnkr2cl  41473  lcfl6lem  41497  lcfl7lem  41498  lcfl6  41499  lcfrlem11  41552