Theorem oppfdiag1a 50492

Description: A constant functor for opposite categories is the opposite functor of the constant functor for original categories. (Contributed by Zhi Wang, 19-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppfdiag.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
oppfdiag.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
oppfdiag.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
oppfdiag.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
oppfdiag.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
oppfdiag1a.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
oppfdiag1a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oppfdiag1a	⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘((1st ‘𝐿)‘𝑋)) = ((1st ‘(𝑂Δfunc𝑃))‘𝑋))

Proof of Theorem oppfdiag1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppfdiag.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
2		oppfdiag.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		oppfdiag.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
4		oppfdiag1a.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
5		oppfdiag1a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((1st ‘𝐿)‘𝑋) = ((1st ‘𝐿)‘𝑋)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	diag1cl 18409	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐿)‘𝑋) ∈ (𝐷 Func 𝐶))
8	7	fvresd 6903	. 2 ⊢ (𝜑 → (( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐶))‘((1st ‘𝐿)‘𝑋)) = ( oppFunc ‘((1st ‘𝐿)‘𝑋)))
9		oppfdiag.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
10		oppfdiag.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
11		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐶)) = ( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐶)))
12	9, 10, 1, 2, 3, 11, 4, 5	oppfdiag1 50491	. 2 ⊢ (𝜑 → (( oppFunc ↾ (𝐷 Func 𝐶))‘((1st ‘𝐿)‘𝑋)) = ((1st ‘(𝑂Δfunc𝑃))‘𝑋))
13	8, 12	eqtr3d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘((1st ‘𝐿)‘𝑋)) = ((1st ‘(𝑂Δfunc𝑃))‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↾ cres 5653  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  1^st c1st 7997  Basecbs 17380  Catccat 17831  oppCatcoppc 17878   Func cfunc 18022  Δ_funccdiag 18379   oppFunc coppf 50199

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8236  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-hom 17445  df-cco 17446  df-cat 17835  df-cid 17836  df-homf 17837  df-comf 17838  df-oppc 17879  df-sect 17915  df-inv 17916  df-iso 17917  df-func 18026  df-idfu 18027  df-cofu 18028  df-full 18074  df-fth 18075  df-nat 18114  df-fuc 18115  df-catc 18267  df-xpc 18339  df-1stf 18340  df-curf 18381  df-diag 18383  df-oppf 50200

This theorem is used by:  lmddu  50744