Theorem broutsideof3 33196

Description: Characterization of outsideness in terms of relationship to a fourth point. Theorem 6.3 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑃,𝑐

Proof of Theorem broutsideof3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof2 33192	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
2		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr3 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr1 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwndiff 33097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
8		df-3an 1082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
9		3anass 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
10		simpr3 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
11	10	necomd 3039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
12		simp1 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simp23 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp22 1200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp21 1199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpr1r 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
18	12, 14, 15, 13, 17	btwncomand 33085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
19		simpr2 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
20	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19	btwnexch3and 33091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
21	11, 20, 19	3jca 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
22	8, 9, 21	syl2anbr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
23	22	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
24	23	an32s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
25	24	reximdva 3237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
26	7, 25	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
27	26	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
28		simpr2 1188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		btwndiff 33097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
30	2, 28, 4, 29	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
32		3anass 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
33		simpr3 1189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
34	33	necomd 3039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
35		simpr2 1188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
36		simpr1r 1224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
37	12, 13, 15, 14, 36	btwncomand 33085	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
38	12, 14, 13, 15, 16, 37, 35	btwnexch3and 33091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
39	34, 35, 38	3jca 1121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
40	8, 32, 39	syl2anbr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
41	40	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
42	41	an32s 648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
43	42	reximdva 3237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
44	31, 43	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
45	44	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
46	27, 45	jaod 854	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
47		simprr1 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑐 ≠ 𝑃)
48		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr1 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		simplr2 1209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simprr2 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
53	48, 49, 50, 51, 52	btwncomand 33085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)
54		simplr3 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simprr3 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
56	48, 49, 54, 51, 55	btwncomand 33085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩)
57		btwnconn2 33172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
58	48, 51, 49, 50, 54, 57	syl122anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
60	47, 53, 56, 59	mp3and 1456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
61	60	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
62	61	an32s 648	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
63	62	rexlimdva 3247	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
64	46, 63	impbid 213	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
65	64	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
66		df-3an 1082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
67		df-3an 1082	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
68	65, 66, 67	3bitr4g 315	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
69	1, 68	bitrd 280	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   ∧ w3a 1080   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106  ⟨cop 4478   class class class wbr 4962  ‘cfv 6225  ℕcn 11486  𝔼cee 26357   Btwn cbtwn 26358  OutsideOfcoutsideof 33189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-ee 26360  df-btwn 26361  df-cgr 26362  df-ofs 33053  df-colinear 33109  df-ifs 33110  df-cgr3 33111  df-fs 33112  df-outsideof 33190

This theorem is referenced by: (None)