Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  broutsideof3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem broutsideof3 33196
Description: Characterization of outsideness in terms of relationship to a fourth point. Theorem 6.3 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
broutsideof3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑃,𝑐

Proof of Theorem broutsideof3
StepHypRef Expression
1 broutsideof2 33192 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
2 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 simpr3 1189 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simpr1 1187 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 btwndiff 33097 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
62, 3, 4, 5syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
76adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
8 df-3an 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
9 3anass 1088 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)))
10 simpr3 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃𝑐)
1110necomd 3039 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑐𝑃)
12 simp1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 simp23 1201 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
14 simp22 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 simp21 1199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
16 simp3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
17 simpr1r 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
1812, 14, 15, 13, 17btwncomand 33085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
19 simpr2 1188 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
2012, 13, 14, 15, 16, 18, 19btwnexch3and 33091 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
2111, 20, 193jca 1121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
228, 9, 21syl2anbr 598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
2322expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
2423an32s 648 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
2524reximdva 3237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
267, 25mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
2726expr 457 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
28 simpr2 1188 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29 btwndiff 33097 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
302, 28, 4, 29syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))
32 3anass 1088 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)))
33 simpr3 1189 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃𝑐)
3433necomd 3039 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑐𝑃)
35 simpr2 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
36 simpr1r 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
3712, 13, 15, 14, 36btwncomand 33085 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
3812, 14, 13, 15, 16, 37, 35btwnexch3and 33091 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
3934, 35, 383jca 1121 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐)) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
408, 32, 39syl2anbr 598 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐))) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
4140expr 457 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
4241an32s 648 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
4342reximdva 3237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
4431, 43mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
4544expr 457 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
4627, 45jaod 854 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
47 simprr1 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑐𝑃)
48 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49 simplr1 1208 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
50 simplr2 1209 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
51 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
52 simprr2 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
5348, 49, 50, 51, 52btwncomand 33085 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)
54 simplr3 1210 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
55 simprr3 1216 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
5648, 49, 54, 51, 55btwncomand 33085 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩)
57 btwnconn2 33172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
5848, 51, 49, 50, 54, 57syl122anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
5958adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → ((𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
6047, 53, 56, 59mp3and 1456 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
6160expr 457 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → ((𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
6261an32s 648 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
6362rexlimdva 3247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
6446, 63impbid 213 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴𝑃𝐵𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
6564pm5.32da 579 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
66 df-3an 1082 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
67 df-3an 1082 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)) ↔ ((𝐴𝑃𝐵𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
6865, 66, 673bitr4g 315 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
691, 68bitrd 280 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842  w3a 1080  wcel 2081  wne 2984  wrex 3106  cop 4478   class class class wbr 4962  cfv 6225  cn 11486  𝔼cee 26357   Btwn cbtwn 26358  OutsideOfcoutsideof 33189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-ee 26360  df-btwn 26361  df-cgr 26362  df-ofs 33053  df-colinear 33109  df-ifs 33110  df-cgr3 33111  df-fs 33112  df-outsideof 33190
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator