Proof of Theorem broutsideof3
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | broutsideof2 33192 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf〈𝐴, 𝐵〉 ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)))) |
2 | | simpl 483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ) |
3 | | simpr3 1189 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
4 | | simpr1 1187 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
5 | | btwndiff 33097 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
6 | 2, 3, 4, 5 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
7 | 6 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
8 | | df-3an 1082 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))) |
9 | | 3anass 1088 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ (𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) |
10 | | simpr3 1189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐) |
11 | 10 | necomd 3039 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃) |
12 | | simp1 1129 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
13 | | simp23 1201 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
14 | | simp22 1200 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
15 | | simp21 1199 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
16 | | simp3 1131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
17 | | simpr1r 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) |
18 | 12, 14, 15, 13, 17 | btwncomand 33085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn 〈𝐵, 𝑃〉) |
19 | | simpr2 1188 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) |
20 | 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19 | btwnexch3and 33091 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉) |
21 | 11, 20, 19 | 3jca 1121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
22 | 8, 9, 21 | syl2anbr 598 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉) ∧ (𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
23 | 22 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉)) → ((𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
24 | 23 | an32s 648 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
25 | 24 | reximdva 3237 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
26 | 7, 25 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
27 | 26 | expr 457 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
28 | | simpr2 1188 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
29 | | btwndiff 33097 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
30 | 2, 28, 4, 29 | syl3anc 1364 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
31 | 30 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) |
32 | | 3anass 1088 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ (𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) |
33 | | simpr3 1189 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐) |
34 | 33 | necomd 3039 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃) |
35 | | simpr2 1188 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉) |
36 | | simpr1r 1224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) |
37 | 12, 13, 15, 14, 36 | btwncomand 33085 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn 〈𝐴, 𝑃〉) |
38 | 12, 14, 13, 15, 16, 37, 35 | btwnexch3and 33091 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) |
39 | 34, 35, 38 | 3jca 1121 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
40 | 8, 32, 39 | syl2anbr 598 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ∧ (𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
41 | 40 | expr 457 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) → ((𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
42 | 41 | an32s 648 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
43 | 42 | reximdva 3237 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
44 | 31, 43 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) |
45 | 44 | expr 457 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉 → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
46 | 27, 45 | jaod 854 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
47 | | simprr1 1214 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → 𝑐 ≠ 𝑃) |
48 | | simpll 763 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
49 | | simplr1 1208 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
50 | | simplr2 1209 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
51 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
52 | | simprr2 1215 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉) |
53 | 48, 49, 50, 51, 52 | btwncomand 33085 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐴〉) |
54 | | simplr3 1210 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) |
55 | | simprr3 1216 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) |
56 | 48, 49, 54, 51, 55 | btwncomand 33085 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐵〉) |
57 | | btwnconn2 33172 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐴〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐵〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
58 | 48, 51, 49, 50, 54, 57 | syl122anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐴〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐵〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
59 | 58 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐴〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝑐, 𝐵〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
60 | 47, 53, 56, 59 | mp3and 1456 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) |
61 | 60 | expr 457 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
62 | 61 | an32s 648 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
63 | 62 | rexlimdva 3247 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉) → (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
64 | 46, 63 | impbid 213 |
. . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
65 | 64 | pm5.32da 579 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)))) |
66 | | df-3an 1082 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉))) |
67 | | df-3an 1082 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉))) |
68 | 65, 66, 67 | 3bitr4g 315 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn 〈𝑃, 𝐵〉 ∨ 𝐵 Btwn 〈𝑃, 𝐴〉)) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)))) |
69 | 1, 68 | bitrd 280 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf〈𝐴, 𝐵〉 ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐴, 𝑐〉 ∧ 𝑃 Btwn 〈𝐵, 𝑐〉)))) |