Theorem broutsideof3 36170

Description: Characterization of outsideness in terms of relationship to a fourth point. Theorem 6.3 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑃,𝑐

Proof of Theorem broutsideof3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof2 36166	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
2		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr3 1197	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr1 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwndiff 36071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
8		df-3an 1088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
9		3anass 1094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
10		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
11	10	necomd 2983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
12		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simp23 1209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp22 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp21 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpr1r 1232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
18	12, 14, 15, 13, 17	btwncomand 36059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
19		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
20	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19	btwnexch3and 36065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
21	11, 20, 19	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
22	8, 9, 21	syl2anbr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
23	22	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
24	23	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
25	24	reximdva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
26	7, 25	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
27	26	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
28		simpr2 1196	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		btwndiff 36071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
30	2, 28, 4, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
32		3anass 1094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
33		simpr3 1197	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
34	33	necomd 2983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
35		simpr2 1196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
36		simpr1r 1232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
37	12, 13, 15, 14, 36	btwncomand 36059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
38	12, 14, 13, 15, 16, 37, 35	btwnexch3and 36065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
39	34, 35, 38	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
40	8, 32, 39	syl2anbr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
41	40	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
42	41	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
43	42	reximdva 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
44	31, 43	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
45	44	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
46	27, 45	jaod 859	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
47		simprr1 1222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑐 ≠ 𝑃)
48		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr1 1216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		simplr2 1217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simprr2 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
53	48, 49, 50, 51, 52	btwncomand 36059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)
54		simplr3 1218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simprr3 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
56	48, 49, 54, 51, 55	btwncomand 36059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩)
57		btwnconn2 36146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
58	48, 51, 49, 50, 54, 57	syl122anc 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
60	47, 53, 56, 59	mp3and 1466	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
61	60	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
62	61	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
63	62	rexlimdva 3133	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
64	46, 63	impbid 212	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
65	64	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
66		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
67		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
68	65, 66, 67	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
69	1, 68	bitrd 279	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  ℕcn 12125  𝔼cee 28866   Btwn cbtwn 28867  OutsideOfcoutsideof 36163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-ee 28869  df-btwn 28870  df-cgr 28871  df-ofs 36027  df-colinear 36083  df-ifs 36084  df-cgr3 36085  df-fs 36086  df-outsideof 36164

This theorem is referenced by: (None)