Theorem broutsideof3 36363

Description: Characterization of outsideness in terms of relationship to a fourth point. Theorem 6.3 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑃,𝑐

Proof of Theorem broutsideof3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof2 36359	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
2		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr3 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr1 1201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwndiff 36264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
8		df-3an 1094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
9		3anass 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
10		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
11	10	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
12		simp1 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simp23 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp22 1214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp21 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpr1r 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
18	12, 14, 15, 13, 17	btwncomand 36252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
19		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
20	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19	btwnexch3and 36258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
21	11, 20, 19	3jca 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
22	8, 9, 21	syl2anbr 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
23	22	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
24	23	an32s 658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
25	24	reximdva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
26	7, 25	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
27	26	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
28		simpr2 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		btwndiff 36264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
30	2, 28, 4, 29	syl3anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
32		3anass 1100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
33		simpr3 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
34	33	necomd 2989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
35		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
36		simpr1r 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
37	12, 13, 15, 14, 36	btwncomand 36252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
38	12, 14, 13, 15, 16, 37, 35	btwnexch3and 36258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
39	34, 35, 38	3jca 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
40	8, 32, 39	syl2anbr 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
41	40	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
42	41	an32s 658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
43	42	reximdva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
44	31, 43	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
45	44	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
46	27, 45	jaod 865	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
47		simprr1 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑐 ≠ 𝑃)
48		simpll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr1 1222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		simplr2 1223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simprr2 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
53	48, 49, 50, 51, 52	btwncomand 36252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)
54		simplr3 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simprr3 1230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
56	48, 49, 54, 51, 55	btwncomand 36252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩)
57		btwnconn2 36339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
58	48, 51, 49, 50, 54, 57	syl122anc 1387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
60	47, 53, 56, 59	mp3and 1472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
61	60	expr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
62	61	an32s 658	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
63	62	rexlimdva 3140	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
64	46, 63	impbid 213	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
65	64	pm5.32da 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
66		df-3an 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
67		df-3an 1094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
68	65, 66, 67	3bitr4g 315	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
69	1, 68	bitrd 280	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  ⟨cop 4562   class class class wbr 5073  ‘cfv 6486  ℕcn 12166  𝔼cee 28975   Btwn cbtwn 28976  OutsideOfcoutsideof 36356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-icc 13297  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641  df-ee 28978  df-btwn 28979  df-cgr 28980  df-ofs 36220  df-colinear 36276  df-ifs 36277  df-cgr3 36278  df-fs 36279  df-outsideof 36357

This theorem is referenced by: (None)