Theorem broutsideof3 33977

Description: Characterization of outsideness in terms of relationship to a fourth point. Theorem 6.3 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
broutsideof3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝑃,𝑐

Proof of Theorem broutsideof3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		broutsideof2 33973	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
2		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpr3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		simpr1 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwndiff 33878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
8		df-3an 1086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)))
9		3anass 1092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
10		simpr3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
11	10	necomd 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
12		simp1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
13		simp23 1205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
14		simp22 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15		simp21 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
16		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
17		simpr1r 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
18	12, 14, 15, 13, 17	btwncomand 33866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
19		simpr2 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
20	12, 13, 14, 15, 16, 18, 19	btwnexch3and 33872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
21	11, 20, 19	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
22	8, 9, 21	syl2anbr 601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
23	22	expr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
24	23	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
25	24	reximdva 3198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
26	7, 25	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
27	26	expr 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
28		simpr2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
29		btwndiff 33878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
30	2, 28, 4, 29	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
31	30	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))
32		3anass 1092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) ↔ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)))
33		simpr3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 ≠ 𝑐)
34	33	necomd 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑐 ≠ 𝑃)
35		simpr2 1192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
36		simpr1r 1228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
37	12, 13, 15, 14, 36	btwncomand 33866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
38	12, 14, 13, 15, 16, 37, 35	btwnexch3and 33872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
39	34, 35, 38	3jca 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐)) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
40	8, 32, 39	syl2anbr 601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐))) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
41	40	expr 460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
42	41	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
43	42	reximdva 3198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 ≠ 𝑐) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
44	31, 43	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))
45	44	expr 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
46	27, 45	jaod 856	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
47		simprr1 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑐 ≠ 𝑃)
48		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		simplr1 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
50		simplr2 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
51		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁))
52		simprr2 1219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩)
53	48, 49, 50, 51, 52	btwncomand 33866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩)
54		simplr3 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
55		simprr3 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)
56	48, 49, 54, 51, 55	btwncomand 33866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩)
57		btwnconn2 33953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
58	48, 51, 49, 50, 54, 57	syl122anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
59	58	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑐, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
60	47, 53, 56, 59	mp3and 1461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
61	60	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
62	61	an32s 651	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) ∧ 𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
63	62	rexlimdva 3208	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → (∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
64	46, 63	impbid 215	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
65	64	pm5.32da 582	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
66		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
67		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)) ↔ ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃) ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩)))
68	65, 66, 67	3bitr4g 317	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))
69	1, 68	bitrd 282	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ≠ 𝑃 ∧ 𝐵 ≠ 𝑃 ∧ ∃𝑐 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝑐 ≠ 𝑃 ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝑐⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝑐⟩))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∃wrex 3071  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  ℕcn 11674  𝔼cee 26781   Btwn cbtwn 26782  OutsideOfcoutsideof 33970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-sum 15091  df-ee 26784  df-btwn 26785  df-cgr 26786  df-ofs 33834  df-colinear 33890  df-ifs 33891  df-cgr3 33892  df-fs 33893  df-outsideof 33971

This theorem is referenced by: (None)