MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfeqalem1 25586
Description: Lemma for mbfeqalem2 25587. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4243 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))}
2 eldif 3950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
4 eldifi 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
87fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
94, 6, 8syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)
1312fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
1615ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯)
18 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
19 nffvmpt1 6902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
2018, 19nfeq 2906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
21 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
22 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2321, 22eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)))
2417, 20, 23cbvralw 3294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2516, 24sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2625r19.21bi 3239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2726eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 593 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 653 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 577 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
3231ffnd 6717 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
3332adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
34 elpreima 7061 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
3736ffnd 6717 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
3837adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
39 elpreima 7061 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
4241ex 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))))
4342con1d 145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
4443abssdv 4057 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))} βŠ† 𝐴)
451, 44eqsstrid 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
4645difsymssdifssd 4248 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4846, 47sstrd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
50 ovolssnul 25432 . . 3 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 25480 . 2 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2702  βˆ€wral 3051   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940   β–³ csymdif 4236   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  β„cr 11135  0cc0 11136  vol*covol 25407  volcvol 25408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-symdif 4237  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-ovol 25409  df-vol 25410
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25587
  Copyright terms: Public domain W3C validator