Theorem mbfeqalem1 25608

Description: Lemma for mbfeqalem2 25609. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem1	⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymdif4 4199	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))}
2		eldif 3899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4		eldifi 4071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
9	4, 6, 8	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)
13	12	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
14	4, 11, 13	syl2an2 687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
15	3, 9, 14	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
16	15	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
17		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥)
18		nffvmpt1 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧)
19		nffvmpt1 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
20	18, 19	nfeq 2912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
21		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧))
22		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
23	21, 22	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)))
24	17, 20, 23	cbvralw 3279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
25	16, 24	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
26	25	r19.21bi 3229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
27	26	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
28	2, 27	sylan2br 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
29	28	anass1rs 656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
30	29	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
31	5	fmpttd 7067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
32	31	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
34		elpreima 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
36	10	fmpttd 7067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
37	36	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
39		elpreima 7010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
41	30, 35, 40	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
42	41	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))))
43	42	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
44	43	abssdv 4007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
45	1, 44	eqsstrid 3960	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
46	45	difsymssdifssd 4204	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47		mbfeqa.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	46, 47	sstrd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49		mbfeqa.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50		ovolssnul 25454	. . 3 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52		nulmbl 25502	. 2 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
53	48, 51, 52	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889   △ csymdif 4192   ↦ cmpt 5166  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  ℝcr 11037  0cc0 11038  vol*covol 25429  volcvol 25430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-symdif 4193  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-ovol 25431  df-vol 25432

This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25609