MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfeqalem1 25525
Description: Lemma for mbfeqalem2 25526. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4243 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))}
2 eldif 3953 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
4 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
87fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
94, 6, 8syl2an2 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)
1312fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
1615ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
17 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯)
18 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
19 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
2018, 19nfeq 2910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
21 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
22 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2321, 22eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)))
2417, 20, 23cbvralw 3297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2516, 24sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2625r19.21bi 3242 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2726eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 652 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 578 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 7110 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
3231ffnd 6712 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
34 elpreima 7053 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 7110 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
3736ffnd 6712 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
39 elpreima 7053 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
4241ex 412 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))))
4342con1d 145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
4443abssdv 4060 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))} βŠ† 𝐴)
451, 44eqsstrid 4025 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
4645difsymssdifssd 4248 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4846, 47sstrd 3987 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
50 ovolssnul 25371 . . 3 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 25419 . 2 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943   β–³ csymdif 4236   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  0cc0 11112  vol*covol 25346  volcvol 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-symdif 4237  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-ovol 25348  df-vol 25349
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25526
  Copyright terms: Public domain W3C validator