Theorem mbfeqalem1 25689

Description: Lemma for mbfeqalem2 25690. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem1	⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymdif4 4264	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))}
2		eldif 3972	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4		eldifi 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	fvmpt2 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
9	4, 6, 8	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)
13	12	fvmpt2 7026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
14	4, 11, 13	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
15	3, 9, 14	3eqtr4d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
16	15	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
17		nfv 1911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥)
18		nffvmpt1 6917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧)
19		nffvmpt1 6917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
20	18, 19	nfeq 2916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
21		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧))
22		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
23	21, 22	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)))
24	17, 20, 23	cbvralw 3303	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
25	16, 24	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
26	25	r19.21bi 3248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
27	26	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
28	2, 27	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
29	28	anass1rs 655	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
30	29	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
31	5	fmpttd 7134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
32	31	ffnd 6737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
34		elpreima 7077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
36	10	fmpttd 7134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
37	36	ffnd 6737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
39		elpreima 7077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
41	30, 35, 40	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
42	41	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))))
43	42	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
44	43	abssdv 4077	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
45	1, 44	eqsstrid 4043	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
46	45	difsymssdifssd 4269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47		mbfeqa.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	46, 47	sstrd 4005	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49		mbfeqa.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50		ovolssnul 25535	. . 3 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52		nulmbl 25583	. 2 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
53	48, 51, 52	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {cab 2711  ∀wral 3058   ∖ cdif 3959   ⊆ wss 3962   △ csymdif 4257   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5687  dom cdm 5688   “ cima 5691   Fn wfn 6557  ‘cfv 6562  ℝcr 11151  0cc0 11152  vol*covol 25510  volcvol 25511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-ovol 25512  df-vol 25513

This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25690