MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem1 25676
Description: Lemma for mbfeqalem2 25677. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4259 . . . . 5 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) △ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))}
2 eldif 3961 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
87fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐵𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
94, 6, 8syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐵𝐷) = (𝑥𝐵𝐷)
1312fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐵𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
1615ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
17 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥)
18 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧)
19 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
2018, 19nfeq 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
21 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧))
22 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2321, 22eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)))
2417, 20, 23cbvralw 3306 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2516, 24sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2625r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2726eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
3231ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
34 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
3736ffnd 6737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
3837adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
39 elpreima 7078 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
4241ex 412 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑧𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))))
4342con1d 145 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧𝐴))
4443abssdv 4068 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
451, 44eqsstrid 4022 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) △ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
4645difsymssdifssd 4264 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4846, 47sstrd 3994 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50 ovolssnul 25522 . . 3 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 25570 . 2 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 584 1 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  csymdif 4252  cmpt 5225  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688   Fn wfn 6556  cfv 6561  cr 11154  0cc0 11155  vol*covol 25497  volcvol 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-ovol 25499  df-vol 25500
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25677
  Copyright terms: Public domain W3C validator