MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem1 24386
Description: Lemma for mbfeqalem2 24387. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4137 . . . . 5 (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) △ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))}
2 eldif 3851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐵𝐴) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4 eldifi 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐵𝐶) = (𝑥𝐵𝐶)
87fvmpt2 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐵𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
94, 6, 8syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐵𝐷) = (𝑥𝐵𝐷)
1312fvmpt2 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝐵𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
1615ralrimiva 3096 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥))
17 nfv 1920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥)
18 nffvmpt1 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧)
19 nffvmpt1 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
2018, 19nfeq 2912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)
21 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧))
22 fveq2 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2321, 22eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧)))
2417, 20, 23cbvralw 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑥) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2516, 24sylib 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵𝐴)((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2625r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) = ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧))
2726eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐵𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵 ∧ ¬ 𝑧𝐴)) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) ∧ 𝑧𝐵) → (((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → ((𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 6883 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶):𝐵⟶ℝ)
3231ffnd 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵)
34 elpreima 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 6883 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷):𝐵⟶ℝ)
3736ffnd 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
3837adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵)
39 elpreima 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧𝐵 ∧ ((𝑥𝐵𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 314 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝐴) → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)))
4241ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑧𝐴 → (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))))
4342con1d 147 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧𝐴))
4443abssdv 3956 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
451, 44eqsstrid 3923 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) △ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
4645difsymssdifssd 4142 . . 3 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4846, 47sstrd 3885 . 2 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50 ovolssnul 24232 . . 3 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 24280 . 2 (((((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦))) = 0) → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 587 1 (𝜑 → (((𝑥𝐵𝐶) “ 𝑦) ∖ ((𝑥𝐵𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  {cab 2716  wral 3053  cdif 3838  wss 3841  csymdif 4130  cmpt 5107  ccnv 5518  dom cdm 5519  cima 5522   Fn wfn 6328  cfv 6333  cr 10607  0cc0 10608  vol*covol 24207  volcvol 24208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-symdif 4131  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-ovol 24209  df-vol 24210
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  24387
  Copyright terms: Public domain W3C validator