Theorem mbfeqalem1 25769

Description: Lemma for mbfeqalem2 25770. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem1	⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymdif4 4220	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))}
2		eldif 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4		eldifi 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
9	4, 6, 8	syl2an2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12		eqid 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)
13	12	fvmpt2 7002	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
14	4, 11, 13	syl2an2 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
15	3, 9, 14	3eqtr4d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
16	15	ralrimiva 3163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
17		nfv 1941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥)
18		nffvmpt1 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧)
19		nffvmpt1 6893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
20	18, 19	nfeq 2944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
21		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧))
22		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
23	21, 22	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)))
24	17, 20, 23	cbvralw 3313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
25	16, 24	sylib 221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
26	25	r19.21bi 3263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
27	26	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
28	2, 27	sylan2br 606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
29	28	anass1rs 667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
30	29	pm5.32da 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
31	5	fmpttd 7111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
32	31	ffnd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
34		elpreima 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
36	10	fmpttd 7111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
37	36	ffnd 6707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
38	37	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
39		elpreima 7054	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
41	30, 35, 40	3bitr4d 314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
42	41	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))))
43	42	con1d 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
44	43	abssdv 4029	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
45	1, 44	eqsstrid 3983	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
46	45	difsymssdifssd 4225	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47		mbfeqa.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	46, 47	sstrd 3955	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49		mbfeqa.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50		ovolssnul 25615	. . 3 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52		nulmbl 25663	. 2 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
53	48, 51, 52	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∀wral 3085   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   △ csymdif 4213   ↦ cmpt 5196  ^◡ccnv 5661  dom cdm 5662   “ cima 5665   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100  vol*covol 25590  volcvol 25591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-symdif 4214  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-ovol 25592  df-vol 25593

This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25770