Theorem mbfeqalem1 25005

Description: Lemma for mbfeqalem2 25006. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem1	⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymdif4 4208	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))}
2		eldif 3920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
9	4, 6, 8	syl2an2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)
13	12	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
14	4, 11, 13	syl2an2 684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
15	3, 9, 14	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
16	15	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
17		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥)
18		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧)
19		nffvmpt1 6853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
20	18, 19	nfeq 2920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
21		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧))
22		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
23	21, 22	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)))
24	17, 20, 23	cbvralw 3289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
25	16, 24	sylib 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
26	25	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
27	26	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
28	2, 27	sylan2br 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
29	28	anass1rs 653	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
30	29	pm5.32da 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
31	5	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
32	31	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
34		elpreima 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
36	10	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
37	36	ffnd 6669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
39		elpreima 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
41	30, 35, 40	3bitr4d 310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
42	41	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))))
43	42	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
44	43	abssdv 4025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
45	1, 44	eqsstrid 3992	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
46	45	difsymssdifssd 4213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47		mbfeqa.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	46, 47	sstrd 3954	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49		mbfeqa.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50		ovolssnul 24851	. . 3 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52		nulmbl 24899	. 2 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
53	48, 51, 52	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2713  ∀wral 3064   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910   △ csymdif 4201   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  ℝcr 11050  0cc0 11051  vol*covol 24826  volcvol 24827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-ovol 24828  df-vol 24829

This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25006