MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mbfeqalem1 25149
Description: Lemma for mbfeqalem2 25150. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)
Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4247 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))}
2 eldif 3957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
4 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
87fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
94, 6, 8syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)
1312fvmpt2 7006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
1615ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
17 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯)
18 nffvmpt1 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
19 nffvmpt1 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
2018, 19nfeq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
21 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
22 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2321, 22eqeq12d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)))
2417, 20, 23cbvralw 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2516, 24sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2625r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2726eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 653 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
3231ffnd 6715 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
34 elpreima 7056 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
3736ffnd 6715 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
3837adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
39 elpreima 7056 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 310 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
4241ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))))
4342con1d 145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
4443abssdv 4064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))} βŠ† 𝐴)
451, 44eqsstrid 4029 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
4645difsymssdifssd 4252 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4846, 47sstrd 3991 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
50 ovolssnul 24995 . . 3 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 25043 . 2 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 584 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   β–³ csymdif 4240   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  β€˜cfv 6540  β„cr 11105  0cc0 11106  vol*covol 24970  volcvol 24971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-ovol 24972  df-vol 24973
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25150
  Copyright terms: Public domain W3C validator