MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfeqalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfeqalem1 25021
Description: Lemma for mbfeqalem2 25022. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfeqa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
mbfeqa.2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
mbfeqa.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
mbfeqalem.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbfeqalem1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑦,𝐡   𝑦,𝐢   𝑦,𝐷   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem mbfeqalem1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfsymdif4 4213 . . . . 5 ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) = {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))}
2 eldif 3925 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3 mbfeqa.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 = 𝐷)
4 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
5 mbfeqalem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
64, 5sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)
87fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
94, 6, 8syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = 𝐢)
10 mbfeqalem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
114, 10sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
12 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)
1312fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
144, 11, 13syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = 𝐷)
153, 9, 143eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
1615ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯))
17 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑧((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯)
18 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§)
19 nffvmpt1 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
2018, 19nfeq 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)
21 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§))
22 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2321, 22eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§)))
2417, 20, 23cbvralw 3292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘₯) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2516, 24sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2625r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) = ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§))
2726eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐡 βˆ– 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
282, 27sylan2br 596 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
2928anass1rs 654 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦))
3029pm5.32da 580 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
315fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢):π΅βŸΆβ„)
3231ffnd 6674 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
3332adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡)
34 elpreima 7013 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
3610fmpttd 7068 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷):π΅βŸΆβ„)
3736ffnd 6674 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
3837adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡)
39 elpreima 7013 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) Fn 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷)β€˜π‘§) ∈ 𝑦)))
4130, 35, 403bitr4d 311 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)))
4241ex 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ 𝐴 β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))))
4342con1d 145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴))
4443abssdv 4030 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {𝑧 ∣ Β¬ (𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))} βŠ† 𝐴)
451, 44eqsstrid 3997 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) β–³ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
4645difsymssdifssd 4218 . . 3 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴)
47 mbfeqa.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
4846, 47sstrd 3959 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ)
49 mbfeqa.2 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π΄) = 0)
50 ovolssnul 24867 . . 3 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜π΄) = 0) β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
5146, 47, 49, 50syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0)
52 nulmbl 24915 . 2 ((((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦))) = 0) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
5348, 51, 52syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐢) β€œ 𝑦) βˆ– (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ 𝐷) β€œ 𝑦)) ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2714  βˆ€wral 3065   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915   β–³ csymdif 4206   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  β„cr 11057  0cc0 11058  vol*covol 24842  volcvol 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-ovol 24844  df-vol 24845
This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25022
  Copyright terms: Public domain W3C validator