Theorem mbfeqalem1 25705

Description: Lemma for mbfeqalem2 25706. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.) (Revised by AV, 19-Aug-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfeqa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
mbfeqa.2	⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
mbfeqa.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
mbfeqalem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
mbfeqalem.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfeqalem1	⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝑦,𝐷   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem mbfeqalem1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsymdif4 4213	. . . . 5 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) = {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))}
2		eldif 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		mbfeqa.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 = 𝐷)
4		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
5		mbfeqalem.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
8	7	fvmpt2 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
9	4, 6, 8	syl2an2 696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = 𝐶)
10		mbfeqalem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ ℝ)
11	4, 10	sylan2 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12		eqid 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)
13	12	fvmpt2 6989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
14	4, 11, 13	syl2an2 696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = 𝐷)
15	3, 9, 14	3eqtr4d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
16	15	ralrimiva 3156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥))
17		nfv 1936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥)
18		nffvmpt1 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧)
19		nffvmpt1 6880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
20	18, 19	nfeq 2939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)
21		fveq2 6869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧))
22		fveq2 6869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
23	21, 22	eqeq12d 2780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧)))
24	17, 20, 23	cbvralw 3306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
25	16, 24	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
26	25	r19.21bi 3256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧))
27	26	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
28	2, 27	sylan2br 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
29	28	anass1rs 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦))
30	29	pm5.32da 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
31	5	fmpttd 7098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶):𝐵⟶ℝ)
32	31	ffnd 6694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵)
34		elpreima 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
36	10	fmpttd 7098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷):𝐵⟶ℝ)
37	36	ffnd 6694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
38	37	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵)
39		elpreima 7041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) Fn 𝐵 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷)‘𝑧) ∈ 𝑦)))
41	30, 35, 40	3bitr4d 313	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)))
42	41	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))))
43	42	con1d 145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝐴))
44	43	abssdv 4022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∣ ¬ (𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))} ⊆ 𝐴)
45	1, 44	eqsstrid 3976	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) △ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
46	45	difsymssdifssd 4218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴)
47		mbfeqa.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
48	46, 47	sstrd 3948	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ)
49		mbfeqa.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝐴) = 0)
50		ovolssnul 25551	. . 3 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ (vol*‘𝐴) = 0) → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
51	46, 47, 49, 50	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (𝜑 → (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0)
52		nulmbl 25599	. 2 ⊢ ((((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦))) = 0) → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)
53	48, 51, 52	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) “ 𝑦) ∖ (◡(𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐷) “ 𝑦)) ∈ dom vol)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  {cab 2742  ∀wral 3078   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   △ csymdif 4206   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  dom cdm 5649   “ cima 5652   Fn wfn 6518  ‘cfv 6523  ℝcr 11074  0cc0 11075  vol*covol 25526  volcvol 25527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-ovol 25528  df-vol 25529

This theorem is referenced by:  mbfeqalem2  25706