Theorem prlngsymquad 29251

Description: All parallelograms are symmetric quadrilaterals. First part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquad	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋)))

Proof of Theorem prlngsymquad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
2		symquadprlng.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		symquadprlng.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		symquadprlng.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		symquadprlng.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		symquadprlng.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		symquadprlng.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		symquadprlng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		prlngsymquad.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
11	2, 6, 4, 5, 7, 8, 9, 10	ncoltgdim2 28871	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
12		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
13	2, 3, 4, 5, 11, 9, 8	midcl 29123	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	2, 3, 4, 5, 11, 9, 8, 12, 13	ismidb 29124	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
15	1, 14	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋))
16	15	eqcomd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) = 𝑍)
17	16	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑍 − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)))
18		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
19	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 9, 7	miriso 28984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
20		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
21		symquadprlng.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
22		symquadprlng.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
23		prlngsymquad.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
24		prlngsymquad.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
25		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
26	2, 3, 6, 20, 5, 21, 9, 7, 8, 22, 10, 23, 24, 25	prlngsymquadlem 29250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
27	26	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑍 − 𝑊))
28	17, 19, 27	3eqtr3d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
29	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 9, 16	mircom 28977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍) = 𝑋)
30	29	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍)) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − 𝑋))
31	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 7, 8	miriso 28984	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
32	26	oveq1d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − 𝑋) = (𝑊 − 𝑋))
33	30, 31, 32	3eqtr3d 2809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
34	28, 33	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  distcds 17344  TarskiGcstrkg 28733  TarskiG_Ecstrkge 28738  Itvcitv 28739  LineGclng 28740  pInvGcmir 28966  midGcmid 29118  parlnGcprlng 29223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-trkgc 28754  df-trkgb 28755  df-trkgcb 28756  df-trkge 28757  df-trkgld 28758  df-trkg 28759  df-cgrg 28817  df-ismt 28839  df-leg 28889  df-hlg 28907  df-mir 28967  df-rag 29011  df-perpg 29013  df-hpg 29077  df-plng 29093  df-mid 29120  df-lmi 29121  df-cgra 29156  df-prlng 29224

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29253