Theorem prlngsymquad 29424

Description: All parallelograms are symmetric quadrilaterals. First part of Theorem 12.19 of [Schwabhauser] p. 126. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
symquadprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
symquadprlng.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
symquadprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
symquadprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
symquadprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
symquadprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
symquadprlng.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
symquadprlng.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
symquadprlng.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
symquadprlng.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
prlngsymquad.2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
prlngsymquad.3	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
prlngsymquad.4	⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))

Assertion

Ref	Expression
prlngsymquad	⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋)))

Proof of Theorem prlngsymquad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
2		symquadprlng.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		symquadprlng.d	. . . . . . 7 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		symquadprlng.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		symquadprlng.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		symquadprlng.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		symquadprlng.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		symquadprlng.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		prlngsymquad.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍) ∨ 𝑌 = 𝑍))
11	2, 6, 4, 5, 7, 8, 9, 10	ncoltgdim2 29010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
13	2, 3, 4, 5, 11, 9, 8	midcl 29264	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) ∈ 𝑃)
14	2, 3, 4, 5, 11, 9, 8, 12, 13	ismidb 29265	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑍 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)𝑍) = (𝑋(midG‘𝐺)𝑍)))
15	1, 14	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋))
16	15	eqcomd 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) = 𝑍)
17	16	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑍 − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)))
18		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍)) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))
19	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 9, 7	miriso 29124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑋) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑋 − 𝑌))
20		symquadprlng.r	. . . . 5 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
21		symquadprlng.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiGE)
22		symquadprlng.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
23		prlngsymquad.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∥ (𝑍𝐿𝑊))
24		prlngsymquad.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑍) ∥ (𝑊𝐿𝑋))
25		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)
26	2, 3, 6, 20, 5, 21, 9, 7, 8, 22, 10, 23, 24, 25	prlngsymquadlem 29423	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) = 𝑊)
27	26	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌)) = (𝑍 − 𝑊))
28	17, 19, 27	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊))
29	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 9, 16	mircom 29117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍) = 𝑋)
30	29	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍)) = ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − 𝑋))
31	2, 3, 4, 6, 12, 5, 13, 18, 7, 8	miriso 29124	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − (((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑍)) = (𝑌 − 𝑍))
32	26	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((pInvG‘𝐺)‘(𝑋(midG‘𝐺)𝑍))‘𝑌) − 𝑋) = (𝑊 − 𝑋))
33	30, 31, 32	3eqtr3d 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋))
34	28, 33	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − 𝑌) = (𝑍 − 𝑊) ∧ (𝑌 − 𝑍) = (𝑊 − 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  distcds 17417  TarskiGcstrkg 28871  TarskiG_Ecstrkge 28876  Itvcitv 28877  LineGclng 28878  pInvGcmir 29106  midGcmid 29259  parlnGcprlng 29396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-concat 14696  df-s1 14723  df-s2 14979  df-s3 14980  df-trkgc 28892  df-trkgb 28893  df-trkgcb 28894  df-trkge 28895  df-trkgld 28896  df-trkg 28897  df-cgrg 28956  df-ismt 28978  df-leg 29028  df-hlg 29046  df-mir 29107  df-rag 29151  df-perpg 29153  df-hpg 29218  df-plng 29234  df-mid 29261  df-lmi 29262  df-cgra 29297  df-prlng 29397

This theorem is used by:  quadcgrprlng  29426