Theorem reeftlcl 15240

Description: Closure of the sum of an infinite tail of the series defining the exponential function. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
reeftlcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem reeftlcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2777	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		nn0z 11752	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2778	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
5		eluznn0 12064	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6	5	adantll 704	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		eftl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8	7	eftval 15209	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
10		simpll 757	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		reeftcl 15207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
12	10, 6, 11	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
13	9, 12	eqeltrd 2858	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
14		recn 10362	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	7	eftlcvg 15238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
16	14, 15	sylan 575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
17	1, 3, 4, 13, 16	isumrecl 14901	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℝcr 10271   + caddc 10275   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  seqcseq 13119  ↑cexp 13178  !cfa 13378   ⇝ cli 14623  Σcsu 14824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825

This theorem is referenced by:  eftlub  15241