Theorem eftlcvg 15988

Description: The tail series of the exponential function are convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
eftlcvg	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eftlcvg

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2	1	efcllem 15960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4		nn0uz 12805	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
6	1	eftval 15959	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
7	6	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
8		eftcl 15956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
9	8	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
10	7, 9	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
11	4, 5, 10	iserex 15541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	3, 11	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051   + caddc 11054   / cdiv 11812  ℕ₀cn0 12413  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  !cfa 14173   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  eftlcl  15989  reeftlcl  15990  eftlub  15991  efsep  15992  subfaclim  33782