MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 25343
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
evthicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
evthicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑧,𝑀,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑀,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑧   𝑀,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . 4 βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
2 eqid 2726 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 eqid 2726 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
62, 5icccmp 24696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
9 iccssre 13412 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
103, 4, 9syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
11 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstrdi 3989 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
13 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))
14 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
15 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡))))
16 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
1714, 16tgioo 24667 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 24784 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
202, 15resubmet 24673 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2221oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
2319, 22eqtrd 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
248, 23eleqtrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
25 retop 24633 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 24634 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2726restuni 23021 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2825, 10, 27sylancr 586 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
293rexrd 11268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 11268 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
32 lbicc2 13447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3433ne0d 4330 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) β‰  βˆ…)
3528, 34eqnetrrd 3003 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
361, 2, 7, 24, 35evth 24840 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3728raleqdv 3319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3828, 37rexeqbidv 3337 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3936, 38mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
401, 2, 7, 24, 35evth2 24841 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
4128raleqdv 3319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
4228, 41rexeqbidv 3337 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
4340, 42mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
4439, 43jca 511 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  abscabs 15187   β†Ύt crest 17375  topGenctg 17392  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750   Cn ccn 23083  Compccmp 23245  β€“cnβ†’ccncf 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753
This theorem is referenced by:  evthicc2  25344  cniccbdd  25345  rolle  25877  dvivthlem1  25896  itgsubst  25939  evthiccabs  44778  cncficcgt0  45173
  Copyright terms: Public domain W3C validator