Theorem evthicc 25343

Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
evthicc.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
evthicc.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))

Assertion

Ref	Expression
evthicc	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3		evthicc.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		evthicc.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
6	2, 5	icccmp 24696	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
7	3, 4, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
8		evthicc.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9		iccssre 13412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11		ax-resscn 11169	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstrdi 3989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
13		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))
14		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
15		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
16		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
17	14, 16	tgioo 24667	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	13, 14, 15, 17	cncfmet 24784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
19	12, 11, 18	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
20	2, 15	resubmet 24673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
22	21	oveq1d 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
23	19, 22	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
24	8, 23	eleqtrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
25		retop 24633	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26		uniretop 24634	. . . . . . 7 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
27	26	restuni 23021	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
28	25, 10, 27	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
29	3	rexrd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	4	rexrd 11268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
31		evthicc.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
32		lbicc2 13447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	33	ne0d 4330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
35	28, 34	eqnetrrd 3003	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
36	1, 2, 7, 24, 35	evth 24840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
37	28	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
38	28, 37	rexeqbidv 3337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥)))
39	36, 38	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥))
40	1, 2, 7, 24, 35	evth2 24841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))
41	28	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
42	28, 41	rexeqbidv 3337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤) ↔ ∃𝑧 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ∈ ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))
43	40, 42	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤))
44	39, 43	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑦) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑧) ≤ (𝐹‘𝑤)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3943  ∅c0 4317  ∪ cuni 4902   class class class wbr 5141   × cxp 5667  ran crn 5670   ↾ cres 5671   ∘ ccom 5673  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  ℝ^*cxr 11251   ≤ cle 11253   − cmin 11448  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  abscabs 15187   ↾_t crest 17375  topGenctg 17392  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750   Cn ccn 23083  Compccmp 23245  –cn→ccncf 24751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753

This theorem is referenced by:  evthicc2  25344  cniccbdd  25345  rolle  25877  dvivthlem1  25896  itgsubst  25939  evthiccabs  44778  cncficcgt0  45173