MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 23663
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
2 eqid 2778 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 eqid 2778 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
62, 5icccmp 23036 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9 iccssre 12567 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
103, 4, 9syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 10329 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11syl6ss 3833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
13 eqid 2778 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))
14 eqid 2778 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
15 eqid 2778 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
16 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1714, 16tgioo 23007 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 23119 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
202, 15resubmet 23013 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2221oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
2319, 22eqtrd 2814 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
248, 23eleqtrd 2861 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
25 retop 22973 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 22974 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
2726restuni 21374 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2825, 10, 27sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
293rexrd 10426 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 10426 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
32 lbicc2 12602 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1439 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433ne0d 4150 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
3528, 34eqnetrrd 3037 . . . 4 (𝜑 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
361, 2, 7, 24, 35evth 23166 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
3728raleqdv 3340 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3828, 37rexeqbidv 3327 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3936, 38mpbird 249 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
401, 2, 7, 24, 35evth2 23167 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4128raleqdv 3340 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4228, 41rexeqbidv 3327 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4340, 42mpbird 249 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4439, 43jca 507 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  wss 3792  c0 4141   cuni 4671   class class class wbr 4886   × cxp 5353  ran crn 5356  cres 5357  ccom 5359  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270  cr 10271  *cxr 10410  cle 10412  cmin 10606  (,)cioo 12487  [,]cicc 12490  abscabs 14381  t crest 16467  topGenctg 16484  MetOpencmopn 20132  Topctop 21105   Cn ccn 21436  Compccmp 21598  cnccncf 23087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089
This theorem is referenced by:  evthicc2  23664  cniccbdd  23665  rolle  24190  dvivthlem1  24208  itgsubst  24249  evthiccabs  40630  cncficcgt0  41029
  Copyright terms: Public domain W3C validator