MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 25408
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
evthicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
evthicc.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑧,𝑀,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   𝑀,𝐡,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑀,𝑧   𝑀,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . 4 βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
2 eqid 2728 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5 eqid 2728 . . . . . 6 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))
62, 5icccmp 24761 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
9 iccssre 13446 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
103, 4, 9syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
11 ax-resscn 11203 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
1210, 11sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
13 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡))) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))
14 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
15 eqid 2728 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡))))
16 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
1714, 16tgioo 24732 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 24849 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
202, 15resubmet 24738 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ β†’ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2221oveq1d 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ ((𝐴[,]𝐡) Γ— (𝐴[,]𝐡)))) Cn (topGenβ€˜ran (,))) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
2319, 22eqtrd 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) = (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
248, 23eleqtrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
25 retop 24698 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 24699 . . . . . . 7 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2726restuni 23086 . . . . . 6 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
2825, 10, 27sylancr 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)))
293rexrd 11302 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 11302 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
32 lbicc2 13481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3433ne0d 4339 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) β‰  βˆ…)
3528, 34eqnetrrd 3006 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
361, 2, 7, 24, 35evth 24905 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
3728raleqdv 3323 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3828, 37rexeqbidv 3341 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘¦ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3936, 38mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
401, 2, 7, 24, 35evth2 24906 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
4128raleqdv 3323 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
4228, 41rexeqbidv 3341 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))βˆ€π‘€ ∈ βˆͺ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (𝐴[,]𝐡))(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
4340, 42mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
4439, 43jca 510 1 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘¦ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘¦) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ βˆƒπ‘§ ∈ (𝐴[,]𝐡)βˆ€π‘€ ∈ (𝐴[,]𝐡)(πΉβ€˜π‘§) ≀ (πΉβ€˜π‘€)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  βˆͺ cuni 4912   class class class wbr 5152   Γ— cxp 5680  ran crn 5683   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  β„*cxr 11285   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  (,)cioo 13364  [,]cicc 13367  abscabs 15221   β†Ύt crest 17409  topGenctg 17426  MetOpencmopn 21276  Topctop 22815   Cn ccn 23148  Compccmp 23310  β€“cnβ†’ccncf 24816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818
This theorem is referenced by:  evthicc2  25409  cniccbdd  25410  rolle  25942  dvivthlem1  25961  itgsubst  26004  evthiccabs  44910  cncficcgt0  45305
  Copyright terms: Public domain W3C validator