MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 25494
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
2 eqid 2737 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 eqid 2737 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
62, 5icccmp 24847 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9 iccssre 13469 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
103, 4, 9syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 11212 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstrdi 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
13 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))
14 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
15 eqid 2737 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
16 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1714, 16tgioo 24817 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 24935 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
202, 15resubmet 24823 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2221oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
2319, 22eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
248, 23eleqtrd 2843 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
25 retop 24782 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 24783 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
2726restuni 23170 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2825, 10, 27sylancr 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
293rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
32 lbicc2 13504 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433ne0d 4342 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
3528, 34eqnetrrd 3009 . . . 4 (𝜑 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
361, 2, 7, 24, 35evth 24991 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
3728raleqdv 3326 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3828, 37rexeqbidv 3347 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3936, 38mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
401, 2, 7, 24, 35evth2 24992 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4128raleqdv 3326 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4228, 41rexeqbidv 3347 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4340, 42mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4439, 43jca 511 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   cuni 4907   class class class wbr 5143   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  abscabs 15273  t crest 17465  topGenctg 17482  MetOpencmopn 21354  Topctop 22899   Cn ccn 23232  Compccmp 23394  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  evthicc2  25495  cniccbdd  25496  rolle  26028  dvivthlem1  26047  itgsubst  26090  evthiccabs  45509  cncficcgt0  45903
  Copyright terms: Public domain W3C validator