MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  evthicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evthicc 25309
Description: Specialization of the Extreme Value Theorem to a closed interval of . (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
evthicc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
evthicc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
evthicc.3 (𝜑𝐴𝐵)
evthicc.4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
Assertion
Ref Expression
evthicc (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑧,𝑤,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐵,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑧   𝑤,𝐹,𝑧

Proof of Theorem evthicc
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
2 eqid 2731 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
3 evthicc.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 evthicc.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 eqid 2731 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))
62, 5icccmp 24662 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
73, 4, 6syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ∈ Comp)
8 evthicc.4 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
9 iccssre 13413 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
103, 4, 9syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
11 ax-resscn 11173 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstrdi 3994 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
13 eqid 2731 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))
14 eqid 2731 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
15 eqid 2731 . . . . . . . 8 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵))))
16 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1714, 16tgioo 24633 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1813, 14, 15, 17cncfmet 24750 . . . . . . 7 (((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
1912, 11, 18sylancl 585 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))))
202, 15resubmet 24639 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2110, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2221oveq1d 7427 . . . . . 6 (𝜑 → ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴[,]𝐵) × (𝐴[,]𝐵)))) Cn (topGen‘ran (,))) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
2319, 22eqtrd 2771 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) = (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
248, 23eleqtrd 2834 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) Cn (topGen‘ran (,))))
25 retop 24599 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 uniretop 24600 . . . . . . 7 ℝ = (topGen‘ran (,))
2726restuni 22987 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
2825, 10, 27sylancr 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)))
293rexrd 11271 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
304rexrd 11271 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 evthicc.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
32 lbicc2 13448 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3329, 30, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433ne0d 4335 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ≠ ∅)
3528, 34eqnetrrd 3008 . . . 4 (𝜑 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵)) ≠ ∅)
361, 2, 7, 24, 35evth 24806 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
3728raleqdv 3324 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3828, 37rexeqbidv 3342 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑦 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥)))
3936, 38mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥))
401, 2, 7, 24, 35evth2 24807 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4128raleqdv 3324 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4228, 41rexeqbidv 3342 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤) ↔ ∃𝑧 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))∀𝑤 ((topGen‘ran (,)) ↾t (𝐴[,]𝐵))(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
4340, 42mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤))
4439, 43jca 511 1 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑥) ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑧) ≤ (𝐹𝑤)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948  c0 4322   cuni 4908   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ran crn 5677  cres 5678  ccom 5680  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  *cxr 11254  cle 11256  cmin 11451  (,)cioo 13331  [,]cicc 13334  abscabs 15188  t crest 17373  topGenctg 17390  MetOpencmopn 21224  Topctop 22716   Cn ccn 23049  Compccmp 23211  cnccncf 24717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719
This theorem is referenced by:  evthicc2  25310  cniccbdd  25311  rolle  25843  dvivthlem1  25862  itgsubst  25905  evthiccabs  44671  cncficcgt0  45066
  Copyright terms: Public domain W3C validator