Theorem resubmet 25028

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
resubmet.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
resubmet	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2		xpss12 5670	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
3	2	anidms 577	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
4	3	resabs1d 6001	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5	4	fveq2d 6882	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
6	1, 5	eqtr4id 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8	7	rexmet 25017	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
10		resubmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
12	7, 11	tgioo 25022	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
13	10, 12	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
15	9, 13, 14	metrest 24750	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
16	8, 15	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
17	6, 16	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5653  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   − cmin 11465  (,)cioo 13398  abscabs 15321   ↾_t crest 17505  topGenctg 17522  ∞Metcxmet 21570  MetOpencmopn 21575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-seq 14066  df-exp 14126  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171

This theorem is used by:  dfii2  25110  icoopnst  25167  iocopnst  25168  evthicc  25687