Theorem resubmet 24666

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
resubmet.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
resubmet	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2		xpss12 5646	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
3	2	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
4	3	resabs1d 5968	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5	4	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
6	1, 5	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8	7	rexmet 24655	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
10		resubmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
12	7, 11	tgioo 24660	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
13	10, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
15	9, 13, 14	metrest 24388	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
16	8, 15	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
17	6, 16	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   × cxp 5629  ran crn 5632   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043   − cmin 11381  (,)cioo 13282  abscabs 15176   ↾_t crest 17359  topGenctg 17376  ∞Metcxmet 21225  MetOpencmopn 21230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-rest 17361  df-topgen 17382  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809

This theorem is referenced by:  dfii2  24751  icoopnst  24812  iocopnst  24813  evthicc  25336