Theorem resubmet 24741

Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resubmet.1	⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
resubmet.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
resubmet	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Proof of Theorem resubmet

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubmet.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2		xpss12 5669	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
3	2	anidms 566	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
4	3	resabs1d 5995	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
5	4	fveq2d 6880	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
6	1, 5	eqtr4id 2789	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
7		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
8	7	rexmet 24730	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
10		resubmet.1	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (topGen‘ran (,))
11		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
12	7, 11	tgioo 24735	. . . . 5 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
13	10, 12	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
15	9, 13, 14	metrest 24463	. . 3 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
16	8, 15	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅 ↾t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
17	6, 16	eqtr4d 2773	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅 ↾t 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   × cxp 5652  ran crn 5655   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128   − cmin 11466  (,)cioo 13362  abscabs 15253   ↾_t crest 17434  topGenctg 17451  ∞Metcxmet 21300  MetOpencmopn 21305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884

This theorem is referenced by:  dfii2  24826  icoopnst  24887  iocopnst  24888  evthicc  25412