MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubmet 23963
Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resubmet.1 𝑅 = (topGen‘ran (,))
resubmet.2 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
resubmet (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅t 𝐴))

Proof of Theorem resubmet
StepHypRef Expression
1 resubmet.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
2 xpss12 5605 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
32anidms 567 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝐴 × 𝐴) ⊆ (ℝ × ℝ))
43resabs1d 5921 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
54fveq2d 6775 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
61, 5eqtr4id 2799 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
7 eqid 2740 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
87rexmet 23952 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
9 eqid 2740 . . . 4 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))
10 resubmet.1 . . . . 5 𝑅 = (topGen‘ran (,))
11 eqid 2740 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
127, 11tgioo 23957 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
1310, 12eqtri 2768 . . . 4 𝑅 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
14 eqid 2740 . . . 4 (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
159, 13, 14metrest 23678 . . 3 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑅t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
168, 15mpan 687 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑅t 𝐴) = (MetOpen‘(((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
176, 16eqtr4d 2783 1 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐽 = (𝑅t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892   × cxp 5588  ran crn 5591  cres 5592  ccom 5594  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  cmin 11205  (,)cioo 13078  abscabs 14943  t crest 17129  topGenctg 17146  ∞Metcxmet 20580  MetOpencmopn 20585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-sup 9179  df-inf 9180  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-seq 13720  df-exp 13781  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-rest 17131  df-topgen 17152  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-bases 22094
This theorem is referenced by:  dfii2  24043  icoopnst  24100  iocopnst  24101  evthicc  24621
  Copyright terms: Public domain W3C validator