MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem resubmet 24539
Description: The subspace topology induced by a subset of the reals. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
resubmet.1 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
resubmet.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
Assertion
Ref Expression
resubmet (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐽 = (𝑅 β†Ύt 𝐴))
Proof of Theorem resubmet
StepHypRef Expression
1 resubmet.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
2 xpss12 5691 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
32anidms 566 . . . . 5 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝐴 Γ— 𝐴) βŠ† (ℝ Γ— ℝ))
43resabs1d 6012 . . . 4 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
54fveq2d 6895 . . 3 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
61, 5eqtr4id 2790 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
7 eqid 2731 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
87rexmet 24528 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
9 eqid 2731 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)) = (((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))
10 resubmet.1 . . . . 5 𝑅 = (topGenβ€˜ran (,))
11 eqid 2731 . . . . . 6 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
127, 11tgioo 24533 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
1310, 12eqtri 2759 . . . 4 𝑅 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
14 eqid 2731 . . . 4 (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))) = (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴)))
159, 13, 14metrest 24254 . . 3 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
168, 15mpan 687 . 2 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐴) = (MetOpenβ€˜(((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) β†Ύ (𝐴 Γ— 𝐴))))
176, 16eqtr4d 2774 1 (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐽 = (𝑅 β†Ύt 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113   βˆ’ cmin 11449  (,)cioo 13329  abscabs 15186   β†Ύt crest 17371  topGenctg 17388  βˆžMetcxmet 21130  MetOpencmopn 21135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-rest 17373  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  dfii2  24623  icoopnst  24684  iocopnst  24685  evthicc  25209
  Copyright terms: Public domain W3C validator