Theorem tgioo2 24311

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		cnxmet 24281	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-resscn 11164	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		tgioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24290	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 5, 6	metrest 24025	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
8	2, 3, 7	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9	1, 8	tgioo 24304	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   × cxp 5674  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106   − cmin 11441  (,)cioo 13321  abscabs 15178   ↾_t crest 17363  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  ∞Metcxmet 20922  MetOpencmopn 20927  ℂ_fldccnfld 20937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-fz 13482  df-seq 13964  df-exp 14025  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-rest 17365  df-topn 17366  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441

This theorem is referenced by:  rerest  24312  tgioo3  24313  zcld2  24323  metdcn  24348  ngnmcncn  24353  metdscn2  24365  abscncfALT  24432  cnrehmeo  24461  rellycmp  24465  evth  24467  evth2  24468  lebnumlem2  24470  resscdrg  24867  retopn  24888  cncombf  25167  cnmbf  25168  dvmptresicc  25425  dvcjbr  25458  rolle  25499  cmvth  25500  mvth  25501  dvlip  25502  dvlipcn  25503  dvlip2  25504  c1liplem1  25505  dvgt0lem1  25511  dvle  25516  dvivthlem1  25517  dvne0  25520  lhop1lem  25522  lhop2  25524  lhop  25525  dvcnvrelem1  25526  dvcnvrelem2  25527  dvcnvre  25528  dvcvx  25529  dvfsumle  25530  dvfsumabs  25532  dvfsumlem2  25536  ftc1  25551  ftc1cn  25552  ftc2  25553  ftc2ditglem  25554  itgparts  25556  itgsubstlem  25557  itgpowd  25559  taylthlem2  25878  efcvx  25953  pige3ALT  26021  dvloglem  26148  logdmopn  26149  advlog  26154  advlogexp  26155  logccv  26163  loglesqrt  26256  lgamgulmlem2  26524  ftalem3  26569  log2sumbnd  27037  nmcnc  29937  ipasslem7  30077  rmulccn  32897  raddcn  32898  ftc2re  33599  gg-cnrehmeo  35160  gg-rmulccn  35168  gg-cmvth  35170  gg-dvfsumle  35171  gg-dvfsumlem2  35172  knoppcnlem10  35367  knoppcnlem11  35368  broucube  36511  ftc1cnnc  36549  ftc2nc  36559  dvasin  36561  dvacos  36562  dvreasin  36563  dvreacos  36564  areacirclem1  36565  areacirc  36570  dvrelog2  40918  dvrelog3  40919  aks4d1p1p6  40927  lhe4.4ex1a  43074  refsumcn  43700  xrtgcntopre  44176  tgioo4  44273  climreeq  44316  limcresiooub  44345  limcresioolb  44346  lptioo2cn  44348  lptioo1cn  44349  limclner  44354  cncfiooicclem1  44596  jumpncnp  44601  dvresioo  44624  dvbdfbdioolem1  44631  itgsin0pilem1  44653  itgsinexplem1  44657  itgsubsticclem  44678  itgiccshift  44683  itgperiod  44684  itgsbtaddcnst  44685  dirkeritg  44805  dirkercncflem2  44807  dirkercncflem3  44808  dirkercncflem4  44809  dirkercncf  44810  fourierdlem28  44838  fourierdlem32  44842  fourierdlem33  44843  fourierdlem39  44849  fourierdlem56  44865  fourierdlem57  44866  fourierdlem58  44867  fourierdlem59  44868  fourierdlem62  44871  fourierdlem68  44877  fourierdlem72  44881  fourierdlem73  44882  fourierdlem74  44883  fourierdlem75  44884  fourierdlem80  44889  fourierdlem94  44903  fourierdlem103  44912  fourierdlem104  44913  fourierdlem113  44922  fouriercnp  44929  fouriersw  44934  fouriercn  44935  etransclem2  44939  etransclem23  44960  etransclem35  44972  etransclem38  44975  etransclem39  44976  etransclem44  44981  etransclem45  44982  etransclem46  44983  etransclem47  44984