Theorem tgioo2 24844

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		cnxmet 24814	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-resscn 11241	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		tgioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24823	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 5, 6	metrest 24558	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
8	2, 3, 7	mp2an 691	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9	1, 8	tgioo 24837	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   − cmin 11520  (,)cioo 13407  abscabs 15283   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  ℂ_fldccnfld 21387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-fz 13568  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  rerest  24845  tgioo3  24846  zcld2  24856  metdcn  24881  ngnmcncn  24886  metdscn2  24898  abscncfALT  24970  cnrehmeo  25003  cnrehmeoOLD  25004  rellycmp  25008  evth  25010  evth2  25011  lebnumlem2  25013  resscdrg  25411  retopn  25432  cncombf  25712  cnmbf  25713  dvmptresicc  25971  dvcjbr  26007  rolle  26048  cmvth  26049  cmvthOLD  26050  mvth  26051  dvlip  26052  dvlipcn  26053  dvlip2  26054  c1liplem1  26055  dvgt0lem1  26061  dvle  26066  dvivthlem1  26067  dvne0  26070  lhop1lem  26072  lhop2  26074  lhop  26075  dvcnvrelem1  26076  dvcnvrelem2  26077  dvcnvre  26078  dvcvx  26079  dvfsumle  26080  dvfsumleOLD  26081  dvfsumabs  26083  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  ftc1  26103  ftc1cn  26104  ftc2  26105  ftc2ditglem  26106  itgparts  26108  itgsubstlem  26109  itgpowd  26111  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  efcvx  26511  pige3ALT  26580  dvloglem  26708  logdmopn  26709  advlog  26714  advlogexp  26715  logccv  26723  loglesqrt  26822  lgamgulmlem2  27091  ftalem3  27136  log2sumbnd  27606  nmcnc  30728  ipasslem7  30868  rmulccn  33874  raddcn  33875  ftc2re  34575  knoppcnlem10  36468  knoppcnlem11  36469  broucube  37614  ftc1cnnc  37652  ftc2nc  37662  dvasin  37664  dvacos  37665  dvreasin  37666  dvreacos  37667  areacirclem1  37668  areacirc  37673  dvrelog2  42021  dvrelog3  42022  aks4d1p1p6  42030  lhe4.4ex1a  44298  refsumcn  44930  xrtgcntopre  45394  tgioo4  45491  climreeq  45534  limcresiooub  45563  limcresioolb  45564  lptioo2cn  45566  lptioo1cn  45567  limclner  45572  cncfiooicclem1  45814  jumpncnp  45819  dvresioo  45842  dvbdfbdioolem1  45849  itgsin0pilem1  45871  itgsinexplem1  45875  itgsubsticclem  45896  itgiccshift  45901  itgperiod  45902  itgsbtaddcnst  45903  dirkeritg  46023  dirkercncflem2  46025  dirkercncflem3  46026  dirkercncflem4  46027  dirkercncf  46028  fourierdlem28  46056  fourierdlem32  46060  fourierdlem33  46061  fourierdlem39  46067  fourierdlem56  46083  fourierdlem57  46084  fourierdlem58  46085  fourierdlem59  46086  fourierdlem62  46089  fourierdlem68  46095  fourierdlem72  46099  fourierdlem73  46100  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem80  46107  fourierdlem94  46121  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem113  46140  fouriercnp  46147  fouriersw  46152  fouriercn  46153  etransclem2  46157  etransclem23  46178  etransclem35  46190  etransclem38  46193  etransclem39  46194  etransclem44  46199  etransclem45  46200  etransclem46  46201  etransclem47  46202