MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgioo2 24807
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
tgioo2 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnxmet 24777 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-resscn 11206 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 tgioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 24786 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6 eqid 2726 . . . 4 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 5, 6metrest 24521 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
82, 3, 7mp2an 690 . 2 (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
91, 8tgioo 24800 1 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3946   × cxp 5672  ran crn 5675  cres 5676  ccom 5678  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  cr 11148  cmin 11485  (,)cioo 13372  abscabs 15234  t crest 17430  TopOpenctopn 17431  topGenctg 17447  ∞Metcxmet 21324  MetOpencmopn 21329  fldccnfld 21339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-rest 17432  df-topn 17433  df-topgen 17453  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937
This theorem is referenced by:  rerest  24808  tgioo3  24809  zcld2  24819  metdcn  24844  ngnmcncn  24849  metdscn2  24861  abscncfALT  24933  cnrehmeo  24966  cnrehmeoOLD  24967  rellycmp  24971  evth  24973  evth2  24974  lebnumlem2  24976  resscdrg  25374  retopn  25395  cncombf  25675  cnmbf  25676  dvmptresicc  25933  dvcjbr  25969  rolle  26010  cmvth  26011  cmvthOLD  26012  mvth  26013  dvlip  26014  dvlipcn  26015  dvlip2  26016  c1liplem1  26017  dvgt0lem1  26023  dvle  26028  dvivthlem1  26029  dvne0  26032  lhop1lem  26034  lhop2  26036  lhop  26037  dvcnvrelem1  26038  dvcnvrelem2  26039  dvcnvre  26040  dvcvx  26041  dvfsumle  26042  dvfsumleOLD  26043  dvfsumabs  26045  dvfsumlem2  26049  dvfsumlem2OLD  26050  ftc1  26065  ftc1cn  26066  ftc2  26067  ftc2ditglem  26068  itgparts  26070  itgsubstlem  26071  itgpowd  26073  taylthlem2  26399  taylthlem2OLD  26400  efcvx  26476  pige3ALT  26544  dvloglem  26672  logdmopn  26673  advlog  26678  advlogexp  26679  logccv  26687  loglesqrt  26786  lgamgulmlem2  27055  ftalem3  27100  log2sumbnd  27570  nmcnc  30626  ipasslem7  30766  rmulccn  33756  raddcn  33757  ftc2re  34457  knoppcnlem10  36218  knoppcnlem11  36219  broucube  37368  ftc1cnnc  37406  ftc2nc  37416  dvasin  37418  dvacos  37419  dvreasin  37420  dvreacos  37421  areacirclem1  37422  areacirc  37427  dvrelog2  41776  dvrelog3  41777  aks4d1p1p6  41785  lhe4.4ex1a  44040  refsumcn  44666  xrtgcntopre  45130  tgioo4  45227  climreeq  45270  limcresiooub  45299  limcresioolb  45300  lptioo2cn  45302  lptioo1cn  45303  limclner  45308  cncfiooicclem1  45550  jumpncnp  45555  dvresioo  45578  dvbdfbdioolem1  45585  itgsin0pilem1  45607  itgsinexplem1  45611  itgsubsticclem  45632  itgiccshift  45637  itgperiod  45638  itgsbtaddcnst  45639  dirkeritg  45759  dirkercncflem2  45761  dirkercncflem3  45762  dirkercncflem4  45763  dirkercncf  45764  fourierdlem28  45792  fourierdlem32  45796  fourierdlem33  45797  fourierdlem39  45803  fourierdlem56  45819  fourierdlem57  45820  fourierdlem58  45821  fourierdlem59  45822  fourierdlem62  45825  fourierdlem68  45831  fourierdlem72  45835  fourierdlem73  45836  fourierdlem74  45837  fourierdlem75  45838  fourierdlem80  45843  fourierdlem94  45857  fourierdlem103  45866  fourierdlem104  45867  fourierdlem113  45876  fouriercnp  45883  fouriersw  45888  fouriercn  45889  etransclem2  45893  etransclem23  45914  etransclem35  45926  etransclem38  45929  etransclem39  45930  etransclem44  45935  etransclem45  45936  etransclem46  45937  etransclem47  45938
  Copyright terms: Public domain W3C validator