MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgioo2 22819
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
tgioo2 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnxmet 22789 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-resscn 10278 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 tgioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 22798 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6 eqid 2806 . . . 4 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 5, 6metrest 22542 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
82, 3, 7mp2an 675 . 2 (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
91, 8tgioo 22812 1 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  wcel 2156  wss 3769   × cxp 5309  ran crn 5312  cres 5313  ccom 5315  cfv 6101  (class class class)co 6874  cc 10219  cr 10220  cmin 10551  (,)cioo 12393  abscabs 14197  t crest 16286  TopOpenctopn 16287  topGenctg 16303  ∞Metcxmt 19939  MetOpencmopn 19944  fldccnfld 19954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-inf 8588  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-fz 12550  df-seq 13025  df-exp 13084  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-rest 16288  df-topn 16289  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-cnfld 19955  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964
This theorem is referenced by:  rerest  22820  tgioo3  22821  zcld2  22831  metdcn  22856  ngnmcncn  22861  metdscn2  22873  abscncfALT  22936  cnrehmeo  22965  rellycmp  22969  evth  22971  evth2  22972  lebnumlem2  22974  resscdrg  23366  retopn  23379  cncombf  23639  cnmbf  23640  dvcjbr  23926  rolle  23967  cmvth  23968  mvth  23969  dvlip  23970  dvlipcn  23971  dvlip2  23972  c1liplem1  23973  dvgt0lem1  23979  dvle  23984  dvivthlem1  23985  dvne0  23988  lhop1lem  23990  lhop2  23992  lhop  23993  dvcnvrelem1  23994  dvcnvrelem2  23995  dvcnvre  23996  dvcvx  23997  dvfsumle  23998  dvfsumabs  24000  dvfsumlem2  24004  ftc1  24019  ftc1cn  24020  ftc2  24021  ftc2ditglem  24022  itgparts  24024  itgsubstlem  24025  taylthlem2  24342  efcvx  24417  pige3  24484  dvloglem  24608  logdmopn  24609  advlog  24614  advlogexp  24615  logccv  24623  loglesqrt  24713  lgamgulmlem2  24970  ftalem3  25015  log2sumbnd  25447  nmcnc  27879  ipasslem7  28019  rmulccn  30299  raddcn  30300  ftc2re  31001  knoppcnlem10  32809  knoppcnlem11  32810  broucube  33756  ftc1cnnc  33796  ftc2nc  33806  dvasin  33808  dvacos  33809  dvreasin  33810  dvreacos  33811  areacirclem1  33812  areacirc  33817  itgpowd  38300  lhe4.4ex1a  39028  refsumcn  39683  xrtgcntopre  40188  tgioo4  40280  climreeq  40325  limcresiooub  40354  limcresioolb  40355  lptioo2cn  40357  lptioo1cn  40358  limclner  40363  cncfiooicclem1  40586  jumpncnp  40591  dvmptresicc  40614  dvresioo  40616  dvbdfbdioolem1  40623  itgsin0pilem1  40645  itgsinexplem1  40649  itgcoscmulx  40664  itgsubsticclem  40670  itgiccshift  40675  itgperiod  40676  itgsbtaddcnst  40677  dirkeritg  40798  dirkercncflem2  40800  dirkercncflem3  40801  dirkercncflem4  40802  dirkercncf  40803  fourierdlem28  40831  fourierdlem32  40835  fourierdlem33  40836  fourierdlem39  40842  fourierdlem56  40858  fourierdlem57  40859  fourierdlem58  40860  fourierdlem59  40861  fourierdlem60  40862  fourierdlem61  40863  fourierdlem62  40864  fourierdlem68  40870  fourierdlem72  40874  fourierdlem73  40875  fourierdlem74  40876  fourierdlem75  40877  fourierdlem80  40882  fourierdlem94  40896  fourierdlem103  40905  fourierdlem104  40906  fourierdlem113  40915  fouriercnp  40922  fouriersw  40927  fouriercn  40928  etransclem2  40932  etransclem23  40953  etransclem35  40965  etransclem38  40968  etransclem39  40969  etransclem44  40974  etransclem45  40975  etransclem46  40976  etransclem47  40977
  Copyright terms: Public domain W3C validator