MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgioo2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgioo2 23338
Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgioo2.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
tgioo2 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnxmet 23308 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3 ax-resscn 10582 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 tgioo2.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
54cnfldtopn 23317 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6 eqid 2818 . . . 4 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
71, 5, 6metrest 23061 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
82, 3, 7mp2an 688 . 2 (𝐽t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
91, 8tgioo 23331 1 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   × cxp 5546  ran crn 5549  cres 5550  ccom 5552  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  cmin 10858  (,)cioo 12726  abscabs 14581  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  ∞Metcxmet 20458  MetOpencmopn 20463  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  rerest  23339  tgioo3  23340  zcld2  23350  metdcn  23375  ngnmcncn  23380  metdscn2  23392  abscncfALT  23455  cnrehmeo  23484  rellycmp  23488  evth  23490  evth2  23491  lebnumlem2  23493  resscdrg  23888  retopn  23909  cncombf  24186  cnmbf  24187  dvcjbr  24473  rolle  24514  cmvth  24515  mvth  24516  dvlip  24517  dvlipcn  24518  dvlip2  24519  c1liplem1  24520  dvgt0lem1  24526  dvle  24531  dvivthlem1  24532  dvne0  24535  lhop1lem  24537  lhop2  24539  lhop  24540  dvcnvrelem1  24541  dvcnvrelem2  24542  dvcnvre  24543  dvcvx  24544  dvfsumle  24545  dvfsumabs  24547  dvfsumlem2  24551  ftc1  24566  ftc1cn  24567  ftc2  24568  ftc2ditglem  24569  itgparts  24571  itgsubstlem  24572  taylthlem2  24889  efcvx  24964  pige3ALT  25032  dvloglem  25158  logdmopn  25159  advlog  25164  advlogexp  25165  logccv  25173  loglesqrt  25266  lgamgulmlem2  25534  ftalem3  25579  log2sumbnd  26047  nmcnc  28400  ipasslem7  28540  rmulccn  31070  raddcn  31071  ftc2re  31768  knoppcnlem10  33738  knoppcnlem11  33739  broucube  34807  ftc1cnnc  34847  ftc2nc  34857  dvasin  34859  dvacos  34860  dvreasin  34861  dvreacos  34862  areacirclem1  34863  areacirc  34868  itgpowd  39699  lhe4.4ex1a  40538  refsumcn  41164  xrtgcntopre  41631  tgioo4  41725  climreeq  41770  limcresiooub  41799  limcresioolb  41800  lptioo2cn  41802  lptioo1cn  41803  limclner  41808  cncfiooicclem1  42052  jumpncnp  42057  dvmptresicc  42080  dvresioo  42082  dvbdfbdioolem1  42089  itgsin0pilem1  42111  itgsinexplem1  42115  itgcoscmulx  42130  itgsubsticclem  42136  itgiccshift  42141  itgperiod  42142  itgsbtaddcnst  42143  dirkeritg  42264  dirkercncflem2  42266  dirkercncflem3  42267  dirkercncflem4  42268  dirkercncf  42269  fourierdlem28  42297  fourierdlem32  42301  fourierdlem33  42302  fourierdlem39  42308  fourierdlem56  42324  fourierdlem57  42325  fourierdlem58  42326  fourierdlem59  42327  fourierdlem62  42330  fourierdlem68  42336  fourierdlem72  42340  fourierdlem73  42341  fourierdlem74  42342  fourierdlem75  42343  fourierdlem80  42348  fourierdlem94  42362  fourierdlem103  42371  fourierdlem104  42372  fourierdlem113  42381  fouriercnp  42388  fouriersw  42393  fouriercn  42394  etransclem2  42398  etransclem23  42419  etransclem35  42431  etransclem38  42434  etransclem39  42435  etransclem44  42440  etransclem45  42441  etransclem46  42442  etransclem47  42443
  Copyright terms: Public domain W3C validator