Theorem tgioo2 24539

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		cnxmet 24509	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-resscn 11169	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		tgioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 24518	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 5, 6	metrest 24253	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
8	2, 3, 7	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9	1, 8	tgioo 24532	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   × cxp 5674  ran crn 5677   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111   − cmin 11448  (,)cioo 13328  abscabs 15185   ↾_t crest 17370  TopOpenctopn 17371  topGenctg 17387  ∞Metcxmet 21129  MetOpencmopn 21134  ℂ_fldccnfld 21144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669

This theorem is referenced by:  rerest  24540  tgioo3  24541  zcld2  24551  metdcn  24576  ngnmcncn  24581  metdscn2  24593  abscncfALT  24664  cnrehmeo  24693  rellycmp  24697  evth  24699  evth2  24700  lebnumlem2  24702  resscdrg  25099  retopn  25120  cncombf  25399  cnmbf  25400  dvmptresicc  25657  dvcjbr  25690  rolle  25731  cmvth  25732  mvth  25733  dvlip  25734  dvlipcn  25735  dvlip2  25736  c1liplem1  25737  dvgt0lem1  25743  dvle  25748  dvivthlem1  25749  dvne0  25752  lhop1lem  25754  lhop2  25756  lhop  25757  dvcnvrelem1  25758  dvcnvrelem2  25759  dvcnvre  25760  dvcvx  25761  dvfsumle  25762  dvfsumabs  25764  dvfsumlem2  25768  ftc1  25783  ftc1cn  25784  ftc2  25785  ftc2ditglem  25786  itgparts  25788  itgsubstlem  25789  itgpowd  25791  taylthlem2  26110  efcvx  26185  pige3ALT  26253  dvloglem  26380  logdmopn  26381  advlog  26386  advlogexp  26387  logccv  26395  loglesqrt  26490  lgamgulmlem2  26758  ftalem3  26803  log2sumbnd  27271  nmcnc  30204  ipasslem7  30344  rmulccn  33194  raddcn  33195  ftc2re  33896  gg-cnrehmeo  35457  gg-rmulccn  35465  gg-cmvth  35467  gg-dvfsumle  35468  gg-dvfsumlem2  35469  knoppcnlem10  35681  knoppcnlem11  35682  broucube  36825  ftc1cnnc  36863  ftc2nc  36873  dvasin  36875  dvacos  36876  dvreasin  36877  dvreacos  36878  areacirclem1  36879  areacirc  36884  dvrelog2  41235  dvrelog3  41236  aks4d1p1p6  41244  lhe4.4ex1a  43390  refsumcn  44016  xrtgcntopre  44488  tgioo4  44585  climreeq  44628  limcresiooub  44657  limcresioolb  44658  lptioo2cn  44660  lptioo1cn  44661  limclner  44666  cncfiooicclem1  44908  jumpncnp  44913  dvresioo  44936  dvbdfbdioolem1  44943  itgsin0pilem1  44965  itgsinexplem1  44969  itgsubsticclem  44990  itgiccshift  44995  itgperiod  44996  itgsbtaddcnst  44997  dirkeritg  45117  dirkercncflem2  45119  dirkercncflem3  45120  dirkercncflem4  45121  dirkercncf  45122  fourierdlem28  45150  fourierdlem32  45154  fourierdlem33  45155  fourierdlem39  45161  fourierdlem56  45177  fourierdlem57  45178  fourierdlem58  45179  fourierdlem59  45180  fourierdlem62  45183  fourierdlem68  45189  fourierdlem72  45193  fourierdlem73  45194  fourierdlem74  45195  fourierdlem75  45196  fourierdlem80  45201  fourierdlem94  45215  fourierdlem103  45224  fourierdlem104  45225  fourierdlem113  45234  fouriercnp  45241  fouriersw  45246  fouriercn  45247  etransclem2  45251  etransclem23  45272  etransclem35  45284  etransclem38  45287  etransclem39  45288  etransclem44  45293  etransclem45  45294  etransclem46  45295  etransclem47  45296