Theorem tgioo2 25030

Description: The standard topology on the reals is a subspace of the complex metric topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgioo2.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
tgioo2	⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

Proof of Theorem tgioo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2		cnxmet 24999	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
3		ax-resscn 11182	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		tgioo2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
5	4	cnfldtopn 25008	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7	1, 5, 6	metrest 24751	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
8	2, 3, 7	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐽 ↾t ℝ) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
9	1, 8	tgioo 25023	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (𝐽 ↾t ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5653  ran crn 5656   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124   − cmin 11466  (,)cioo 13399  abscabs 15322   ↾_t crest 17506  TopOpenctopn 17507  topGenctg 17523  ∞Metcxmet 21571  MetOpencmopn 21576  ℂ_fldccnfld 21586

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-fz 13563  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-rest 17508  df-topn 17509  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172

This theorem is used by:  rerest  25031  tgioo4  25032  zcld2  25043  metdcn  25068  ngnmcncn  25073  metdscn2  25085  abscncfALT  25153  cnrehmeo  25182  dvcnvrelem2  26246  ftc1  26270  pige3ALT  26758  ftalem3  27312  nmcnc  31178  ipasslem7  31318  limclner  46480