Theorem rngqipbas 21189

Description: The base set of the product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is the cartesian product of the base set of the quotient and the base set of the two-sided ideal. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqipbas	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

Proof of Theorem rngqipbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
4		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	4	ovexi 7450	. . . 4 ⊢ 𝑄 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
7		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 6, 7	xpsbas 17553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (Base‘𝑃))
9		rng2idlring.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rng2idlring.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 10, 3	2idlbas 21161	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
12	11	xpeq2d 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (𝐶 × 𝐼))
13	8, 12	eqtr3d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   × cxp 5670  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  ._rcmulr 17233   /_s cqus 17486   ×_s cxps 17487   ~_QG cqg 19081  Rngcrng 20096  1_rcur 20125  Ringcrg 20177  2Idealc2idl 21147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428  df-imas 17489  df-xps 17491  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-2idl 21148

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21193  rngqiprngimf1  21194  rngqiprngim  21198