Theorem rngqipbas 21181

Description: The base set of the product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is the cartesian product of the base set of the quotient and the base set of the two-sided ideal. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqipbas	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

Proof of Theorem rngqipbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
4		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	4	ovexi 7403	. . . 4 ⊢ 𝑄 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
7		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 6, 7	xpsbas 17511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (Base‘𝑃))
9		rng2idlring.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rng2idlring.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 10, 3	2idlbas 21149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
12	11	xpeq2d 5661	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (𝐶 × 𝐼))
13	8, 12	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ↾_s cress 17176  ._rcmulr 17197   /_s cqus 17444   ×_s cxps 17445   ~_QG cqg 19030  Rngcrng 20037  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  2Idealc2idl 21135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17386  df-imas 17447  df-xps 17449  df-lss 20814  df-sra 21056  df-rgmod 21057  df-lidl 21094  df-2idl 21136

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21185  rngqiprngimf1  21186  rngqiprngim  21190