Theorem rngqipbas 21606

Description: The base set of the product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is the cartesian product of the base set of the quotient and the base set of the two-sided ideal. (Contributed by AV, 21-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqipbas	⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

Proof of Theorem rngqipbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rngqiprngim.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
4		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
5	4	ovexi 7464	. . . 4 ⊢ 𝑄 ∈ V
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
7		rng2idlring.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
8	1, 2, 3, 6, 7	xpsbas 17759	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (Base‘𝑃))
9		rng2idlring.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
10		rng2idlring.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
11	9, 10, 3	2idlbas 21572	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐽) = 𝐼)
12	11	xpeq2d 5685	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × (Base‘𝐽)) = (𝐶 × 𝐼))
13	8, 12	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑃) = (𝐶 × 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454   × cxp 5653  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402   ↾_s cress 17423  ._rcmulr 17444   /_s cqus 17692   ×_s cxps 17693   ~_QG cqg 19347  Rngcrng 20389  1_rcur 20422  Ringcrg 20474  2Idealc2idl 21557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-er 8731  df-map 8863  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-sup 9447  df-inf 9448  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-hom 17467  df-cco 17468  df-prds 17633  df-imas 17695  df-xps 17697  df-lss 21222  df-sra 21463  df-rgmod 21464  df-lidl 21501  df-2idl 21558

This theorem is used by:  rngqiprngghm  21610  rngqiprngimf1  21611  rngqiprngim  21615