Theorem rngqiprng 21500

Description: The product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is a non-unital ring. (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprng	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Proof of Theorem rngqiprng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		ringrng 20427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
8	4, 7	eqeltrrid 2865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
9	2, 3, 8	rng2idlsubrng 21468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
10		subrngsubg 20715	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
13		rngqiprngim.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	13	oveq2i 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
15	12, 14	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17	15, 16	qus2idrng 21476	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
18	2, 3, 11, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Rng)
19	1, 18, 7	xpsrngd 20315	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  ._rcmulr 17344   /_s cqus 17592   ×_s cxps 17593  SubGrpcsubg 19244   ~_QG cqg 19246  Rngcrng 20288  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  SubRngcsubrng 20708  2Idealc2idl 21452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-ec 8699  df-qs 8703  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-prds 17533  df-imas 17595  df-qus 17596  df-xps 17597  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-subrng 20709  df-lss 21117  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-2idl 21453

This theorem is used by:  rngqiprngghm  21503  rngqiprngho  21507