MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngqiprng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngqiprng 21149
Description: The product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is a non-unital ring. (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rng2idlring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
rng2idlring.j 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
rng2idlring.u (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
rng2idlring.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
rng2idlring.1 1 = (1rβ€˜π½)
rngqiprngim.g ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘„)
rngqiprngim.p 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
Assertion
Ref Expression
rngqiprng (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Rng)

Proof of Theorem rngqiprng
StepHypRef Expression
1 rngqiprngim.p . 2 𝑃 = (𝑄 Γ—s 𝐽)
2 rng2idlring.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Rng)
3 rng2idlring.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…))
4 rng2idlring.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑅 β†Ύs 𝐼)
5 rng2idlring.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Ring)
6 ringrng 20184 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Ring β†’ 𝐽 ∈ Rng)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Rng)
84, 7eqeltrrid 2832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐼) ∈ Rng)
92, 3, 8rng2idlsubrng 21122 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubRngβ€˜π‘…))
10 subrngsubg 20452 . . . 4 (𝐼 ∈ (SubRngβ€˜π‘…) β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
119, 10syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
12 rngqiprngim.q . . . . 5 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
13 rngqiprngim.g . . . . . 6 ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
1413oveq2i 7416 . . . . 5 (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
1512, 14eqtri 2754 . . . 4 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16 eqid 2726 . . . 4 (2Idealβ€˜π‘…) = (2Idealβ€˜π‘…)
1715, 16qus2idrng 21130 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Idealβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrpβ€˜π‘…)) β†’ 𝑄 ∈ Rng)
182, 3, 11, 17syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ Rng)
191, 18, 7xpsrngd 20084 1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Rng)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   β†Ύs cress 17182  .rcmulr 17207   /s cqus 17460   Γ—s cxps 17461  SubGrpcsubg 19047   ~QG cqg 19049  Rngcrng 20057  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRngcsubrng 20445  2Idealc2idl 21106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-imas 17463  df-qus 17464  df-xps 17465  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-subrng 20446  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-2idl 21107
This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21152  rngqiprngho  21156
  Copyright terms: Public domain W3C validator