Theorem rngqiprng 21592

Description: The product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is a non-unital ring. (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprng	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Proof of Theorem rngqiprng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		ringrng 20514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
8	4, 7	eqeltrrid 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
9	2, 3, 8	rng2idlsubrng 21559	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
10		subrngsubg 20804	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
13		rngqiprngim.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	13	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
15	12, 14	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17	15, 16	qus2idrng 21567	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
18	2, 3, 11, 17	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Rng)
19	1, 18, 7	xpsrngd 20401	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  ._rcmulr 17429   /_s cqus 17677   ×_s cxps 17678  SubGrpcsubg 19330   ~_QG cqg 19332  Rngcrng 20374  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  SubRngcsubrng 20797  2Idealc2idl 21542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-imas 17680  df-qus 17681  df-xps 17682  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-subrng 20798  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-2idl 21543

This theorem is used by:  rngqiprngghm  21595  rngqiprngho  21599