Theorem rngqiprng 21193

Description: The product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is a non-unital ring. (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprng	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Proof of Theorem rngqiprng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		ringrng 20228	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
8	4, 7	eqeltrrid 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
9	2, 3, 8	rng2idlsubrng 21166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
10		subrngsubg 20496	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
13		rngqiprngim.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	13	oveq2i 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
15	12, 14	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17	15, 16	qus2idrng 21174	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
18	2, 3, 11, 17	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Rng)
19	1, 18, 7	xpsrngd 20126	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  ._rcmulr 17241   /_s cqus 17494   ×_s cxps 17495  SubGrpcsubg 19082   ~_QG cqg 19084  Rngcrng 20099  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  SubRngcsubrng 20489  2Idealc2idl 21150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-imas 17497  df-qus 17498  df-xps 17499  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-subrng 20490  df-lss 20823  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-2idl 21151

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21196  rngqiprngho  21200