Theorem rngqiprng 21251

Description: The product of the quotient with a two-sided ideal and the two-sided ideal is a non-unital ring. (Contributed by AV, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlring.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rng2idlring.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rng2idlring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng2idlring.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rng2idlring.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngim.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngim.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngim.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑄)
rngqiprngim.p	⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprng	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Proof of Theorem rngqiprng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngim.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝑄 ×s 𝐽)
2		rng2idlring.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
3		rng2idlring.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		rng2idlring.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
5		rng2idlring.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
6		ringrng 20220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Ring → 𝐽 ∈ Rng)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Rng)
8	4, 7	eqeltrrid 2841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
9	2, 3, 8	rng2idlsubrng 21220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
10		subrngsubg 20485	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
12		rngqiprngim.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
13		rngqiprngim.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
14	13	oveq2i 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s ∼ ) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
15	12, 14	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝐼))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
17	15, 16	qus2idrng 21228	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → 𝑄 ∈ Rng)
18	2, 3, 11, 17	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Rng)
19	1, 18, 7	xpsrngd 20114	1 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Rng)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178   /_s cqus 17426   ×_s cxps 17427  SubGrpcsubg 19050   ~_QG cqg 19052  Rngcrng 20087  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  SubRngcsubrng 20478  2Idealc2idl 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-imas 17429  df-qus 17430  df-xps 17431  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-subrng 20479  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-2idl 21205

This theorem is referenced by:  rngqiprngghm  21254  rngqiprngho  21258