Theorem rngqiprngfulem1 21243

Description: Lemma 1 for rngqiprngfu 21249 (and lemma for rngqiprngu 21250). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄   𝑥, ∼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngfulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4	2, 3	ringidcl 20178	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
6		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
11	10	ovexi 7375	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
13		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14	7, 9, 12, 13	qusbas 17444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
15	5, 14	eleqtrrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ))
16		fvexd 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
17		elqsg 8683	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑄) ∈ V → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
19	15, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056  Vcvv 3436  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  [cec 8615   / cqs 8616  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  ._rcmulr 17157   /_s cqus 17404   ~_QG cqg 19030  Rngcrng 20065  1_rcur 20094  Ringcrg 20146  2Idealc2idl 21181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-0g 17340  df-imas 17407  df-qus 17408  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem2  21244  rngqipring1  21248