Theorem rngqiprngfulem1 21221

Description: Lemma 1 for rngqiprngfu 21227 (and lemma for rngqiprngu 21228). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄   𝑥, ∼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngfulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4	2, 3	ringidcl 20174	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
6		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
11	10	ovexi 7421	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
13		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14	7, 9, 12, 13	qusbas 17508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
15	5, 14	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ))
16		fvexd 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
17		elqsg 8737	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑄) ∈ V → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
19	15, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  [cec 8669   / cqs 8670  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221   /_s cqus 17468   ~_QG cqg 19054  Rngcrng 20061  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  2Idealc2idl 21159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-ec 8673  df-qs 8677  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17471  df-qus 17472  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem2  21222  rngqipring1  21226