Theorem rngqiprngfulem1 21322

Description: Lemma 1 for rngqiprngfu 21328 (and lemma for rngqiprngu 21329). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄   𝑥, ∼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngfulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4	2, 3	ringidcl 20263	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
6		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
11	10	ovexi 7466	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
13		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14	7, 9, 12, 13	qusbas 17591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
15	5, 14	eleqtrrd 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ))
16		fvexd 6920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
17		elqsg 8809	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑄) ∈ V → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
19	15, 18	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  Vcvv 3479  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744   / cqs 8745  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  ._rcmulr 17299   /_s cqus 17551   ~_QG cqg 19141  Rngcrng 20150  1_rcur 20179  Ringcrg 20231  2Idealc2idl 21260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-ec 8748  df-qs 8752  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17487  df-imas 17554  df-qus 17555  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem2  21323  rngqipring1  21327