Theorem rngqiprngfulem1 21613

Description: Lemma 1 for rngqiprngfu 21619 (and lemma for rngqiprngu 21620). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑄   𝑥, ∼   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   · (𝑥)   1 (𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngfulem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑄) = (1r‘𝑄)
4	2, 3	ringidcl 20500	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ Ring → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (Base‘𝑄))
6		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑅 /s ∼ ))
8		rngqiprngfu.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑅))
10		rngqiprngfu.g	. . . . . 6 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
11	10	ovexi 7455	. . . . 5 ⊢ ∼ ∈ V
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
13		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
14	7, 9, 12, 13	qusbas 17723	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / ∼ ) = (Base‘𝑄))
15	5, 14	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ))
16		fvexd 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑄) ∈ V)
17		elqsg 8788	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑄) ∈ V → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑄) ∈ (𝐵 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ ))
19	15, 18	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 (1r‘𝑄) = [𝑥] ∼ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  [cec 8719   / cqs 8720  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  ._rcmulr 17435   /_s cqus 17683   ~_QG cqg 19338  Rngcrng 20380  1_rcur 20413  Ringcrg 20465  2Idealc2idl 21548

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-ec 8723  df-qs 8727  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-0g 17618  df-imas 17686  df-qus 17687  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-mgp 20367  df-ur 20414  df-ring 20467

This theorem is used by:  rngqiprngfulem2  21614  rngqipring1  21618