Theorem rngqiprngfu 46802

Description: The function value of 𝐹 at the constructed expected ring unity of 𝑅 is the ring unity of the product of the quotient with the two-sided ideal and the two-sided ideal. (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
rngqiprngfu.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfu	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) = ⟨[𝐸] ∼ , 1 ⟩)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝑄   𝑥, ∼   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥, 1   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   + (𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)   − (𝑥)

Proof of Theorem rngqiprngfu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rngqiprngfu.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rngqiprngfu.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
4		rngqiprngfu.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
5		rngqiprngfu.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		rngqiprngfu.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
7		rngqiprngfu.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
8		rngqiprngfu.g	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
9		rngqiprngfu.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
10		rngqiprngfu.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
11		rngqiprngfu.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
12		rngqiprngfu.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
13		rngqiprngfu.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
14		rngqiprngfu.n	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	rngqiprngfulem3 46798	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (𝑄 ×s 𝐽) = (𝑄 ×s 𝐽)
18		rngqiprngfu.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨[𝑥] ∼ , ( 1 · 𝑥)⟩)
19	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 17, 18	rngqiprngimfv 46783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑈) = ⟨[𝑈] ∼ , ( 1 · 𝑈)⟩)
20	15, 19	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) = ⟨[𝑈] ∼ , ( 1 · 𝑈)⟩)
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	rngqiprngfulem4 46799	. . 3 ⊢ (𝜑 → [𝑈] ∼ = [𝐸] ∼ )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	rngqiprngfulem5 46800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝑈) = 1 )
23	21, 22	opeq12d 4882	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨[𝑈] ∼ , ( 1 · 𝑈)⟩ = ⟨[𝐸] ∼ , 1 ⟩)
24	20, 23	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) = ⟨[𝐸] ∼ , 1 ⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  [cec 8701  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198   /_s cqus 17451   ×_s cxps 17452  -_gcsg 18821   ~_QG cqg 19002  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  2Idealc2idl 20856  Rngcrng 46648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-0g 17387  df-imas 17454  df-qus 17455  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-2idl 20857  df-rng 46649  df-subrng 46725

This theorem is referenced by:  rngqiprngu  46803