Theorem ring2idlqusb 21310

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqusb	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqusb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring2idlqus 21309	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
2		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simplr 774	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s 𝑖)
5		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring)
6		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖))
7	2, 3, 4, 5, 6	rngringbdlem2 21307	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	expl 458	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
9	8	rexlimdva 3141	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
10	1, 9	impbid2 227	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↾_s cress 17198   /_s cqus 17467   ~_QG cqg 19096  Rngcrng 20131  Ringcrg 20212  2Idealc2idl 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-imas 17470  df-qus 17471  df-xps 17472  df-mgm 18606  df-mgmhm 18658  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-nsg 19098  df-eqg 19099  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rnghm 20414  df-rngim 20415  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-2idl 21250

This theorem is referenced by:  pzriprngALT  21477