Theorem ring2idlqusb 21235

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqusb	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqusb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring2idlqus 21234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
2		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s 𝑖)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring)
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖))
7	2, 3, 4, 5, 6	rngringbdlem2 21232	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
9	8	rexlimdva 3130	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
10	1, 9	impbid2 226	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↾_s cress 17159   /_s cqus 17427   ~_QG cqg 19019  Rngcrng 20055  Ringcrg 20136  2Idealc2idl 21174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-imas 17430  df-qus 17431  df-xps 17432  df-mgm 18532  df-mgmhm 18584  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-nsg 19021  df-eqg 19022  df-ghm 19110  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-rnghm 20339  df-rngim 20340  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133  df-2idl 21175

This theorem is referenced by:  pzriprngALT  21420