Theorem ring2idlqusb 21412

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqusb	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqusb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring2idlqus 21411	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
2		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s 𝑖)
5		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring)
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖))
7	2, 3, 4, 5, 6	rngringbdlem2 21409	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	expl 462	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
9	8	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
10	1, 9	impbid2 229	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↾_s cress 17280   /_s cqus 17549   ~_QG cqg 19179  Rngcrng 20221  Ringcrg 20306  2Idealc2idl 21350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-ec 8684  df-qs 8688  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-prds 17490  df-imas 17552  df-qus 17553  df-xps 17554  df-mgm 18688  df-mgmhm 18740  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-subg 19180  df-nsg 19181  df-eqg 19182  df-ghm 19275  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-rnghm 20509  df-rngim 20510  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-lmod 20952  df-lss 21022  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301  df-2idl 21351

This theorem is referenced by:  pzriprngALT  21605