Theorem ring2idlqusb 21269

Description: A non-unital ring is unital if and only if there is a (two-sided) ideal of the ring which is unital, and the quotient of the ring and the ideal is unital. (Proposed by GL, 12-Feb-2025.) (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ring2idlqusb	⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Distinct variable group:   𝑅,𝑖

Proof of Theorem ring2idlqusb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ring2idlqus 21268	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring))
2		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Rng)
3		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝑖) = (𝑅 ↾s 𝑖)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) → (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) = (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖))
7	2, 3, 4, 5, 6	rngringbdlem2 21266	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) ∧ (𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring) ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
8	7	expl 457	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)) → (((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
9	8	rexlimdva 3138	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring))
10	1, 9	impbid2 226	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Ring ↔ ∃𝑖 ∈ (2Ideal‘𝑅)((𝑅 ↾s 𝑖) ∈ Ring ∧ (𝑅 /s (𝑅 ~QG 𝑖)) ∈ Ring)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↾_s cress 17161   /_s cqus 17430   ~_QG cqg 19056  Rngcrng 20091  Ringcrg 20172  2Idealc2idl 21208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-prds 17371  df-imas 17433  df-qus 17434  df-xps 17435  df-mgm 18569  df-mgmhm 18621  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-nsg 19058  df-eqg 19059  df-ghm 19146  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-rnghm 20376  df-rngim 20377  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-2idl 21209

This theorem is referenced by:  pzriprngALT  21454