Theorem sge0gerpmpt 47157

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gerpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerpmpt	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gerpmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0gerpmpt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0gerpmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0gerpmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		sge0gerpmpt.rp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))
8		elpwinss 45810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6047	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧))
11	10	fveq2d 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)))
12	11	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
13	12	breq2d 5126	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
14	13	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
16	15	reximdva 3181	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
17	7, 16	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
18	1, 5, 6, 17	sge0gerp 47150	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ∩ cin 3907  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   ↾ cres 5668  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Fincfn 8952  0cc0 11118  +∞cpnf 11258  ℝ^*cxr 11260   ≤ cle 11262  ℝ⁺crp 13034   +_𝑒 cxad 13153  [,]cicc 13393  Σ^{^}csumge0 47117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-rp 13035  df-xadd 13156  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-sumge0 47118

This theorem is used by:  sge0iunmptlemre  47170