Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerpmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerpmpt 44538
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerpmpt.xph 𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gerpmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
Assertion
Ref Expression
sge0gerpmpt (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt
StepHypRef Expression
1 sge0gerpmpt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0gerpmpt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0gerpmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2738 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7062 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0gerpmpt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 sge0gerpmpt.rp . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
8 elpwinss 43162 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
98resmptd 5993 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥𝑧𝐵))
109eqcomd 2744 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥𝑧𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧))
1110fveq2d 6844 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)))
1211oveq1d 7367 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
1312breq2d 5116 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1514adantl 483 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1615reximdva 3164 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
177, 16mpd 15 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
181, 5, 6, 17sge0gerp 44531 1 (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wnf 1786  wcel 2107  wrex 3072  cin 3908  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5104  cmpt 5187  cres 5634  cfv 6494  (class class class)co 7352  Fincfn 8842  0cc0 11010  +∞cpnf 11145  *cxr 11147  cle 11149  +crp 12870   +𝑒 cxad 12986  [,]cicc 13222  Σ^csumge0 44498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-inf2 9536  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-pre-sup 11088
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-sup 9337  df-oi 9405  df-card 9834  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-rp 12871  df-xadd 12989  df-ico 13225  df-icc 13226  df-fz 13380  df-fzo 13523  df-seq 13862  df-exp 13923  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-clim 15330  df-sum 15531  df-sumge0 44499
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  44551
  Copyright terms: Public domain W3C validator