Theorem sge0gerpmpt 47506

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gerpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerpmpt	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gerpmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0gerpmpt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0gerpmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7118	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0gerpmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		sge0gerpmpt.rp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦))
8		elpwinss 46160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧))
11	10	fveq2d 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)))
12	11	oveq1d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦))
13	12	breq2d 5114	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦)))
14	13	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦)))
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦)))
16	15	reximdva 3175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +e 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦)))
17	7, 16	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +e 𝑦))
18	1, 5, 6, 17	sge0gerp 47499	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5652  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Fincfn 8977  0cc0 11204  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   ≤ cle 11348  ℝ⁺crp 13124   +_e cxad 13243  [,]cicc 13483  Σ^{^}csumge0 47466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-xadd 13246  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-seq 14149  df-exp 14209  df-hash 14479  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-clim 15661  df-sum 15860  df-sumge0 47467

This theorem is used by:  sge0iunmptlemre  47519