Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerpmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerpmpt 41136
 Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is larger or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerpmpt.xph 𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gerpmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
Assertion
Ref Expression
sge0gerpmpt (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt
StepHypRef Expression
1 sge0gerpmpt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0gerpmpt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0gerpmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2771 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6529 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0gerpmpt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 sge0gerpmpt.rp . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
8 elpwinss 39737 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
98resmptd 5593 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥𝑧𝐵))
109eqcomd 2777 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥𝑧𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧))
1110fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)))
1211oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
1312breq2d 4798 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1413biimpd 219 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1514adantl 467 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1615reximdva 3165 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
177, 16mpd 15 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
181, 5, 6, 17sge0gerp 41129 1 (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062   ∩ cin 3722  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  0cc0 10138  +∞cpnf 10273  ℝ*cxr 10275   ≤ cle 10277  ℝ+crp 12035   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  Σ^csumge0 41096 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41097 This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  41149
 Copyright terms: Public domain W3C validator