Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0gerpmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0gerpmpt 44277
Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0gerpmpt.xph 𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0gerpmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
Assertion
Ref Expression
sge0gerpmpt (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt
StepHypRef Expression
1 sge0gerpmpt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0gerpmpt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0gerpmpt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2736 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7047 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0gerpmpt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 sge0gerpmpt.rp . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦))
8 elpwinss 42917 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
98resmptd 5980 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥𝑧𝐵))
109eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥𝑧𝐵) = ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧))
1110fveq2d 6829 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) = (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)))
1211oveq1d 7352 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
1312breq2d 5104 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1514adantl 482 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
1615reximdva 3161 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥𝑧𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
177, 16mpd 15 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
181, 5, 6, 17sge0gerp 44270 1 (𝜑𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wnf 1784  wcel 2105  wrex 3070  cin 3897  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5092  cmpt 5175  cres 5622  cfv 6479  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  0cc0 10972  +∞cpnf 11107  *cxr 11109  cle 11111  +crp 12831   +𝑒 cxad 12947  [,]cicc 13183  Σ^csumge0 44237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-xadd 12950  df-ico 13186  df-icc 13187  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497  df-sumge0 44238
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  44290
  Copyright terms: Public domain W3C validator