Theorem sge0gerpmpt 46757

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gerpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerpmpt	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gerpmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0gerpmpt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0gerpmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7071	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0gerpmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		sge0gerpmpt.rp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))
8		elpwinss 45406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧))
11	10	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)))
12	11	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
13	12	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
14	13	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
16	15	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
17	7, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
18	1, 5, 6, 17	sge0gerp 46750	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∩ cin 3902  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917   +_𝑒 cxad 13036  [,]cicc 13276  Σ^{^}csumge0 46717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-sumge0 46718

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46770