Theorem sge0gerpmpt 46358

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gerpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerpmpt	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gerpmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0gerpmpt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0gerpmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0gerpmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		sge0gerpmpt.rp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))
8		elpwinss 44989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧))
11	10	fveq2d 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)))
12	11	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
13	12	breq2d 5160	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
14	13	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
16	15	reximdva 3166	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
17	7, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
18	1, 5, 6, 17	sge0gerp 46351	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1780   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068   ∩ cin 3962  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  ℝ⁺crp 13032   +_𝑒 cxad 13150  [,]cicc 13387  Σ^{^}csumge0 46318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46371