Theorem sge0gerpmpt 46830

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is greater than or equal to a given extended real number if this number can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0gerpmpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0gerpmpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0gerpmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0gerpmpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
sge0gerpmpt.rp	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
sge0gerpmpt	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem sge0gerpmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0gerpmpt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0gerpmpt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0gerpmpt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7069	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0gerpmpt.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7		sge0gerpmpt.rp	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦))
8		elpwinss 45480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧) = (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧))
11	10	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) = (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)))
12	11	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) = ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
13	12	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) ↔ 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
14	13	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → 𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
16	15	reximdva 3150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑧 ↦ 𝐵)) +𝑒 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦)))
17	7, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝐶 ≤ ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑧)) +𝑒 𝑦))
18	1, 5, 6, 17	sge0gerp 46823	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942   +_𝑒 cxad 13061  [,]cicc 13301  Σ^{^}csumge0 46790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-sumge0 46791

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  46843