Theorem sge0lefimpt 46873

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lefimpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lefimpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lefimpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lefimpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
sge0lefimpt	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0lefimpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lefimpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lefimpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lefimpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lefimpt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 5, 6	sge0lefi 46848	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶))
8		elpwinss 45502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6001	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
10	9	fveq2d 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
11	10	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
12	11	ralbiia 3082	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
14	7, 13	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   ≤ cle 11175  [,]cicc 13296  Σ^{^}csumge0 46812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644  df-sumge0 46813

This theorem is referenced by:  sge0isum  46877  sge0xaddlem2  46884