Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lefimpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lefimpt 46438
Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lefimpt.xph 𝑥𝜑
sge0lefimpt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lefimpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lefimpt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
sge0lefimpt (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0lefimpt
StepHypRef Expression
1 sge0lefimpt.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lefimpt.xph . . . 4 𝑥𝜑
3 sge0lefimpt.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2737 . . . 4 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 7137 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lefimpt.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
71, 5, 6sge0lefi 46413 . 2 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶))
8 elpwinss 45054 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦𝐴)
98resmptd 6058 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥𝑦𝐵))
109fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)))
1110breq1d 5153 . . . 4 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ (Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ 𝐶))
1211ralbiia 3091 . . 3 (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ 𝐶)
1312a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ 𝐶))
147, 13bitrd 279 1 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥𝑦𝐵)) ≤ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wnf 1783  wcel 2108  wral 3061  cin 3950  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  [,]cicc 13390  Σ^csumge0 46377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378
This theorem is referenced by:  sge0isum  46442  sge0xaddlem2  46449
  Copyright terms: Public domain W3C validator