Theorem sge0lefimpt 46531

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lefimpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lefimpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lefimpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lefimpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
sge0lefimpt	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sge0lefimpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lefimpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lefimpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lefimpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7050	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lefimpt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 5, 6	sge0lefi 46506	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶))
8		elpwinss 45156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 5988	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
10	9	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
11	10	breq1d 5099	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
12	11	ralbiia 3076	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
14	7, 13	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896  𝒫 cpw 4547   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  0cc0 11006  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  [,]cicc 13248  Σ^{^}csumge0 46470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sumge0 46471

This theorem is referenced by:  sge0isum  46535  sge0xaddlem2  46542