Theorem sge0lefimpt 47165

Description: A sum of nonnegative extended reals is smaller than a given extended real if and only if every finite subsum is smaller than it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lefimpt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lefimpt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lefimpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lefimpt.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
sge0lefimpt	⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem sge0lefimpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lefimpt.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lefimpt.xph	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lefimpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7112	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lefimpt.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
7	1, 5, 6	sge0lefi 47140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶))
8		elpwinss 45797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
9	8	resmptd 6041	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦) = (𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵))
10	9	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) = (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)))
11	10	breq1d 5118	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ((Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
12	11	ralbiia 3108	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑦)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))
14	7, 13	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑥 ∈ 𝑦 ↦ 𝐵)) ≤ 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  Ⅎwnf 1812   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ∩ cin 3903  𝒫 cpw 4561   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  0cc0 11106  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248   ≤ cle 11250  [,]cicc 13381  Σ^{^}csumge0 47104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-sumge0 47105

This theorem is used by:  sge0isum  47169  sge0xaddlem2  47176