MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetglem2 22173
Description: Lemma 2 for smadiadetg 22174. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
smadiadet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
smadiadet.r ๐‘… โˆˆ CRing
smadiadet.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
smadiadet.h ๐ธ = ((๐‘ โˆ– {๐พ}) maDet ๐‘…)
smadiadetg.x ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
smadiadetglem2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))

Proof of Theorem smadiadetglem2
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5431 . . . . 5 {๐พ} โˆˆ V
21a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โˆˆ V)
3 smadiadet.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 smadiadet.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
53, 4matrcl 21911 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
6 elex 3492 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
76adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
983ad2ant1 1133 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
10 simp13 1205 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
11 smadiadet.r . . . . . 6 ๐‘… โˆˆ CRing
12 crngring 20067 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1311, 12mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
1614, 15ringidcl 20082 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
1814, 17ring0cl 20083 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1916, 18ifcld 4574 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2013, 19syl 17 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 fconstmpo 7524 . . . . 5 (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†)
2221a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†))
23 eqidd 2733 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
242, 9, 10, 20, 22, 23offval22 8073 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
2511, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 smadiadetg.x . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
2714, 26, 15ringridm 20086 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
2825, 27mpancom 686 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
29283ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3029ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
31 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3231adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3332oveq2d 7424 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)))
34 iftrue 4534 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3534adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3630, 33, 353eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
3714, 26, 17ringrz 20107 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3825, 37mpancom 686 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
39383ad2ant3 1135 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4039ad2antrl 726 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
41 iffalse 4537 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4241oveq2d 7424 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
44 iffalse 4537 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4640, 43, 453eqtr4d 2782 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4736, 46pm2.61ian 810 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
48473adant2 1131 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4948mpoeq3dva 7485 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
5024, 49eqtrd 2772 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
51 simp2 1137 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘)
52 eqid 2732 . . . . . . 7 (๐‘ minMatR1 ๐‘…) = (๐‘ minMatR1 ๐‘…)
533, 4, 52, 15, 17minmar1val 22149 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5451, 53syld3an3 1409 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5554reseq1d 5980 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
56 snssi 4811 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ ๐‘ โ†’ {๐พ} โŠ† ๐‘)
57563ad2ant2 1134 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โŠ† ๐‘)
58 ssid 4004 . . . . 5 ๐‘ โŠ† ๐‘
59 resmpo 7527 . . . . 5 (({๐พ} โŠ† ๐‘ โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6057, 58, 59sylancl 586 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
61 mposnif 7523 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
6261a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6355, 60, 623eqtrd 2776 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6463oveq2d 7424 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
65 3simpb 1149 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
66 eqid 2732 . . . . . 6 (๐‘ matRRep ๐‘…) = (๐‘ matRRep ๐‘…)
673, 4, 66, 17marrepval 22063 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6865, 51, 51, 67syl12anc 835 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6968reseq1d 5980 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
70 resmpo 7527 . . . 4 (({๐พ} โŠ† ๐‘ โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
7157, 58, 70sylancl 586 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
72 mposnif 7523 . . . 4 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
7372a1i 11 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7469, 71, 733eqtrd 2776 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7550, 64, 743eqtr4rd 2783 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3474   โˆ– cdif 3945   โŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ร— cxp 5674   โ†พ cres 5678  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆˆ cmpo 7410   โˆ˜f cof 7667  Fincfn 8938  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  0gc0g 17384  1rcur 20003  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   Mat cmat 21906   matRRep cmarrep 22057   maDet cmdat 22085   minMatR1 cminmar1 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-mat 21907  df-marrep 22059  df-minmar1 22136
This theorem is referenced by:  smadiadetg  22174
  Copyright terms: Public domain W3C validator