MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetglem2 22529
Description: Lemma 2 for smadiadetg 22530. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
smadiadet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
smadiadet.r ๐‘… โˆˆ CRing
smadiadet.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
smadiadet.h ๐ธ = ((๐‘ โˆ– {๐พ}) maDet ๐‘…)
smadiadetg.x ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
smadiadetglem2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))

Proof of Theorem smadiadetglem2
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5424 . . . . 5 {๐พ} โˆˆ V
21a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โˆˆ V)
3 smadiadet.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 smadiadet.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
53, 4matrcl 22267 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
6 elex 3487 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
76adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
983ad2ant1 1130 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
10 simp13 1202 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
11 smadiadet.r . . . . . 6 ๐‘… โˆˆ CRing
12 crngring 20150 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1311, 12mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
15 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
1614, 15ringidcl 20165 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
1814, 17ring0cl 20166 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1916, 18ifcld 4569 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2013, 19syl 17 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 fconstmpo 7521 . . . . 5 (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†)
2221a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†))
23 eqidd 2727 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
242, 9, 10, 20, 22, 23offval22 8074 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
2511, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 smadiadetg.x . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
2714, 26, 15ringridm 20169 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
2825, 27mpancom 685 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
29283ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3029ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
31 iftrue 4529 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3231adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3332oveq2d 7421 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)))
34 iftrue 4529 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3534adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3630, 33, 353eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
3714, 26, 17ringrz 20193 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3825, 37mpancom 685 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
39383ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4039ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
41 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4241oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
4342adantr 480 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
44 iffalse 4532 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4544adantr 480 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4640, 43, 453eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4736, 46pm2.61ian 809 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
48473adant2 1128 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4948mpoeq3dva 7482 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
5024, 49eqtrd 2766 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
51 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘)
52 eqid 2726 . . . . . . 7 (๐‘ minMatR1 ๐‘…) = (๐‘ minMatR1 ๐‘…)
533, 4, 52, 15, 17minmar1val 22505 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5451, 53syld3an3 1406 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5554reseq1d 5974 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
56 snssi 4806 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ ๐‘ โ†’ {๐พ} โІ ๐‘)
57563ad2ant2 1131 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โІ ๐‘)
58 ssid 3999 . . . . 5 ๐‘ โІ ๐‘
59 resmpo 7524 . . . . 5 (({๐พ} โІ ๐‘ โˆง ๐‘ โІ ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6057, 58, 59sylancl 585 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
61 mposnif 7520 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
6261a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6355, 60, 623eqtrd 2770 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6463oveq2d 7421 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
65 3simpb 1146 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
66 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘ matRRep ๐‘…) = (๐‘ matRRep ๐‘…)
673, 4, 66, 17marrepval 22419 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6865, 51, 51, 67syl12anc 834 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6968reseq1d 5974 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
70 resmpo 7524 . . . 4 (({๐พ} โІ ๐‘ โˆง ๐‘ โІ ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
7157, 58, 70sylancl 585 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
72 mposnif 7520 . . . 4 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
7372a1i 11 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7469, 71, 733eqtrd 2770 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7550, 64, 743eqtr4rd 2777 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โІ wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   ร— cxp 5667   โ†พ cres 5671  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407   โˆ˜f cof 7665  Fincfn 8941  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  1rcur 20086  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   Mat cmat 22262   matRRep cmarrep 22413   maDet cmdat 22441   minMatR1 cminmar1 22490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-mat 22263  df-marrep 22415  df-minmar1 22492
This theorem is referenced by:  smadiadetg  22530
  Copyright terms: Public domain W3C validator