MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smadiadetglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smadiadetglem2 22044
Description: Lemma 2 for smadiadetg 22045. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
smadiadet.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
smadiadet.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
smadiadet.r ๐‘… โˆˆ CRing
smadiadet.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
smadiadet.h ๐ธ = ((๐‘ โˆ– {๐พ}) maDet ๐‘…)
smadiadetg.x ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
smadiadetglem2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))

Proof of Theorem smadiadetglem2
Dummy variables ๐‘– ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 5392 . . . . 5 {๐พ} โˆˆ V
21a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โˆˆ V)
3 smadiadet.a . . . . . . 7 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
4 smadiadet.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
53, 4matrcl 21782 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V))
6 elex 3465 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
76adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
983ad2ant1 1134 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
10 simp13 1206 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
11 smadiadet.r . . . . . 6 ๐‘… โˆˆ CRing
12 crngring 19984 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1311, 12mp1i 13 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
1614, 15ringidcl 19997 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
17 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
1814, 17ring0cl 19998 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1916, 18ifcld 4536 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2013, 19syl 17 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 fconstmpo 7477 . . . . 5 (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†)
2221a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ๐‘†))
23 eqidd 2734 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
242, 9, 10, 20, 22, 23offval22 8024 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
2511, 12mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
26 smadiadetg.x . . . . . . . . . . 11 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
2714, 26, 15ringridm 20001 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
2825, 27mpancom 687 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
29283ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3029ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
31 iftrue 4496 . . . . . . . . 9 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3231adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (1rโ€˜๐‘…))
3332oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (1rโ€˜๐‘…)))
34 iftrue 4496 . . . . . . . 8 (๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3534adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = ๐‘†)
3630, 33, 353eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
3714, 26, 17ringrz 20020 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
3825, 37mpancom 687 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
39383ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4039ad2antrl 727 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
41 iffalse 4499 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4241oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = (๐‘† ยท (0gโ€˜๐‘…)))
44 iffalse 4499 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐‘— = ๐พ โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4544adantr 482 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
4640, 43, 453eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((ยฌ ๐‘— = ๐พ โˆง ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4736, 46pm2.61ian 811 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
48473adant2 1132 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง ๐‘– โˆˆ {๐พ} โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))) = if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
4948mpoeq3dva 7438 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘† ยท if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
5024, 49eqtrd 2773 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
51 simp2 1138 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘)
52 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘ minMatR1 ๐‘…) = (๐‘ minMatR1 ๐‘…)
533, 4, 52, 15, 17minmar1val 22020 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5451, 53syld3an3 1410 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
5554reseq1d 5940 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
56 snssi 4772 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ ๐‘ โ†’ {๐พ} โŠ† ๐‘)
57563ad2ant2 1135 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ {๐พ} โŠ† ๐‘)
58 ssid 3970 . . . . 5 ๐‘ โŠ† ๐‘
59 resmpo 7480 . . . . 5 (({๐พ} โŠ† ๐‘ โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6057, 58, 59sylancl 587 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
61 mposnif 7476 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))
6261a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6355, 60, 623eqtrd 2777 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…))))
6463oveq2d 7377 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, (1rโ€˜๐‘…), (0gโ€˜๐‘…)))))
65 3simpb 1150 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
66 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ matRRep ๐‘…) = (๐‘ matRRep ๐‘…)
673, 4, 66, 17marrepval 21934 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6865, 51, 51, 67syl12anc 836 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
6968reseq1d 5940 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)))
70 resmpo 7480 . . . 4 (({๐พ} โŠ† ๐‘ โˆง ๐‘ โŠ† ๐‘) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
7157, 58, 70sylancl 587 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
72 mposnif 7476 . . . 4 (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)))
7372a1i 11 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐พ, if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…)), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7469, 71, 733eqtrd 2777 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = (๐‘– โˆˆ {๐พ}, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘— = ๐พ, ๐‘†, (0gโ€˜๐‘…))))
7550, 64, 743eqtr4rd 2784 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘† โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐พ(๐‘€(๐‘ matRRep ๐‘…)๐‘†)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘)) = ((({๐พ} ร— ๐‘) ร— {๐‘†}) โˆ˜f ยท ((๐พ((๐‘ minMatR1 ๐‘…)โ€˜๐‘€)๐พ) โ†พ ({๐พ} ร— ๐‘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447   โˆ– cdif 3911   โŠ† wss 3914  ifcif 4490  {csn 4590   ร— cxp 5635   โ†พ cres 5639  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363   โˆ˜f cof 7619  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973   Mat cmat 21777   matRRep cmarrep 21928   maDet cmdat 21956   minMatR1 cminmar1 22005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-mat 21778  df-marrep 21930  df-minmar1 22007
This theorem is referenced by:  smadiadetg  22045
  Copyright terms: Public domain W3C validator