Theorem smadiadetg 21730

Description: The determinant of a square matrix with one row replaced with 0's and an arbitrary element of the underlying ring at the diagonal position equals the ring element multiplied with the determinant of a submatrix of the square matrix obtained by removing the row and the column at the same index. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
smadiadet.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
smadiadet.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smadiadet.r	⊢ 𝑅 ∈ CRing
smadiadet.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
smadiadet.h	⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
smadiadetg.x	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
smadiadetg	⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘(𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾)) = (𝑆 · (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾))))

Proof of Theorem smadiadetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smadiadet.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
2		smadiadet.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		smadiadet.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		smadiadetg.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6		smadiadet.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ CRing
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ CRing)
8		crngring 19710	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
9	6, 8	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
10		simp1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
11		simp3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝑅))
12		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐾 ∈ 𝑁)
13	2, 3	marrepcl 21621	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾) ∈ 𝐵)
14	9, 10, 11, 12, 12, 13	syl32anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾) ∈ 𝐵)
15	2, 3	minmar1cl 21708	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ (𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) ∈ 𝐵)
16	9, 10, 12, 12, 15	syl22anc 835	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) ∈ 𝐵)
17		smadiadet.h	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((𝑁 ∖ {𝐾}) maDet 𝑅)
18	2, 3, 6, 1, 17, 5	smadiadetglem2 21729	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾) ↾ ({𝐾} × 𝑁)) = ((({𝐾} × 𝑁) × {𝑆}) ∘f · ((𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) ↾ ({𝐾} × 𝑁))))
19	2, 3, 6, 1, 17	smadiadetglem1 21728	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐾}) × 𝑁)) = ((𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾) ↾ ((𝑁 ∖ {𝐾}) × 𝑁)))
20	1, 2, 3, 4, 5, 7, 14, 11, 16, 12, 18, 19	mdetrsca 21660	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘(𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾)) = (𝑆 · (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾))))
21	2, 3, 6, 1, 17	smadiadet 21727	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))
22	21	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)))
23	22	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾)) = (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾)))
24	23	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑆 · (𝐷‘(𝐾((𝑁 minMatR1 𝑅)‘𝑀)𝐾))) = (𝑆 · (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾))))
25	20, 24	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁 ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐷‘(𝐾(𝑀(𝑁 matRRep 𝑅)𝑆)𝐾)) = (𝑆 · (𝐸‘(𝐾((𝑁 subMat 𝑅)‘𝑀)𝐾))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  Ringcrg 19698  CRingccrg 19699   Mat cmat 21464   matRRep cmarrep 21613   subMat csubma 21633   maDet cmdat 21641   minMatR1 cminmar1 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1504  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-lsw 14194  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-pfx 14312  df-splice 14391  df-reverse 14400  df-s2 14489  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-efmnd 18423  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-gim 18790  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-symg 18890  df-pmtr 18965  df-psgn 19014  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-rnghom 19874  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-cnfld 20511  df-zring 20583  df-zrh 20617  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465  df-marrep 21615  df-subma 21634  df-mdet 21642  df-minmar1 21692

This theorem is referenced by:  smadiadetg0  21731