Theorem smflimlem5 44197

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimlem5.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem5.5	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem5.6	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimlem5.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem5.8	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
smflimlem5.9	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem5.10	⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem5.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)

Assertion

Ref	Expression
smflimlem5	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑚,𝑟   𝐶,𝑠   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝐹,𝑠   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑘,𝐼,𝑚,𝑟,𝑥   𝑚,𝑀   𝑃,𝑘,𝑚,𝑟   𝑃,𝑠   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑟)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem5.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		smflimlem5.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smflimlem5.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4		smflimlem5.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
5		smflimlem5.6	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
6		smflimlem5.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		smflimlem5.8	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
8		smflimlem5.9	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
9		smflimlem5.10	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
10		smflimlem5.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem2 44194	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷 ∩ 𝐼))
12		smflimlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem4 44196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴})
14	11, 13	eqssd 3934	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} = (𝐷 ∩ 𝐼))
15	1, 2, 4, 7, 8, 9, 10	smflimlem1 44193	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16	14, 15	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ∩ cin 3882  ∪ ciun 4921  ∩ ciin 4922   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ℝcr 10801  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511   ⇝ cli 15121   ↾_t crest 17048  SAlgcsalg 43739  SMblFncsmblfn 44123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-rest 17050  df-salg 43740  df-smblfn 44124

This theorem is referenced by:  smflimlem6  44198