Theorem smflimlem5 47221

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimlem5.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem5.5	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem5.6	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimlem5.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem5.8	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
smflimlem5.9	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem5.10	⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem5.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)

Assertion

Ref	Expression
smflimlem5	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑚,𝑟   𝐶,𝑠   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝐹,𝑠   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑘,𝐼,𝑚,𝑟,𝑥   𝑚,𝑀   𝑃,𝑘,𝑚,𝑟   𝑃,𝑠   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑟)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem5.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		smflimlem5.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smflimlem5.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4		smflimlem5.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
5		smflimlem5.6	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
6		smflimlem5.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		smflimlem5.8	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
8		smflimlem5.9	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
9		smflimlem5.10	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
10		smflimlem5.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem2 47218	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷 ∩ 𝐼))
12		smflimlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem4 47220	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴})
14	11, 13	eqssd 3940	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} = (𝐷 ∩ 𝐼))
15	1, 2, 4, 7, 8, 9, 10	smflimlem1 47217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16	14, 15	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ∩ cin 3889  ∪ ciun 4934  ∩ ciin 4935   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℝcr 11028  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   ⇝ cli 15437   ↾_t crest 17374  SAlgcsalg 46754  SMblFncsmblfn 47141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-rest 17376  df-salg 46755  df-smblfn 47142

This theorem is referenced by:  smflimlem6  47222