Theorem smflimlem5 46192

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem5.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
smflimlem5.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
smflimlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem5.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimlem5.5	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem5.6	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
smflimlem5.7	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
smflimlem5.8	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
smflimlem5.9	⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem5.10	⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem5.11	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)

Assertion

Ref	Expression
smflimlem5	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐴,𝑠,𝑘,𝑚,𝑥   𝐶,𝑘,𝑚,𝑟   𝐶,𝑠   𝐷,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝐷,𝑟,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝐹,𝑠   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛   𝐻,𝑠   𝑘,𝐼,𝑚,𝑟,𝑥   𝑚,𝑀   𝑃,𝑘,𝑚,𝑟   𝑃,𝑠   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   𝐴(𝑟)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑥,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑟)   𝐺(𝑥,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑟)   𝐼(𝑛,𝑠)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smflimlem5.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		smflimlem5.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
3		smflimlem5.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4		smflimlem5.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
5		smflimlem5.6	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
6		smflimlem5.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		smflimlem5.8	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ 𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹‘𝑚) ∣ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹‘𝑚))})
8		smflimlem5.9	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑚 ∈ 𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
9		smflimlem5.10	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ∩ 𝑘 ∈ ℕ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
10		smflimlem5.11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘𝑟) ∈ 𝑟)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem2 46189	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ⊆ (𝐷 ∩ 𝐼))
12		smflimlem5.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13	12, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	smflimlem4 46191	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴})
14	11, 13	eqssd 3999	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} = (𝐷 ∩ 𝐼))
15	1, 2, 4, 7, 8, 9, 10	smflimlem1 46188	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∩ 𝐼) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16	14, 15	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐺‘𝑥) ≤ 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   ∩ cin 3948  ∪ ciun 5000  ∩ ciin 5001   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  dom cdm 5682  ran crn 5683  ⟶wf 6549  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287   / cdiv 11909  ℕcn 12250  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860   ⇝ cli 15468   ↾_t crest 17409  SAlgcsalg 45725  SMblFncsmblfn 46112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-ioo 13368  df-ico 13370  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-rest 17411  df-salg 45726  df-smblfn 46113

This theorem is referenced by:  smflimlem6  46193