Theorem ssdifidl 33532

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be an ideal of 𝑅 disjoint with a set 𝑆. Then there exists an ideal 𝑖, maximal among the set 𝑃 of ideals containing 𝐼 and disjoint with 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdifidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ssdifidl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ssdifidl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
ssdifidl.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
ssdifidl.5	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
ssdifidl.6	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
ssdifidl	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ssdifidl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑆 ∩ 𝑝) = (𝑆 ∩ 𝐼))
2	1	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅))
3		sseq2 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
4	2, 3	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
5		ssdifidl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ssdifidl.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
7		ssidd 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
8	6, 7	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
9	4, 5, 8	elrabd 3637	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
10		ssdifidl.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
11	9, 10	eleqtrrdi 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
12	11	ne0d 4283	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ ∅)
13		ssdifidl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		ssdifidl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		ssdifidl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
20		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ 𝑃)
21		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
22		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
23	13, 15, 16, 18, 19, 10, 20, 21, 22	ssdifidllem 33531	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
25	24	alrimiv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
26		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5278	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
28	27	zornn0 10421	. 2 ⊢ ((𝑃 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)
29	12, 25, 28	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890   ⊊ wpss 3891  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851   Or wor 5531  ‘cfv 6492   [⊊] crpss 7669  Basecbs 17170  Ringcrg 20205  LIdealclidl 21196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-ac2 10376  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-rpss 7670  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-ac 10029  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-subg 19090  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-lidl 21198

This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33533