Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ssdifidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ssdifidl 33486
Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be an ideal of 𝑅 disjoint with a set 𝑆. Then there exists an ideal 𝑖, maximal among the set 𝑃 of ideals containing 𝐼 and disjoint with 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ssdifidl.1 𝐵 = (Base‘𝑅)
ssdifidl.2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ssdifidl.3 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
ssdifidl.4 (𝜑𝑆𝐵)
ssdifidl.5 (𝜑 → (𝑆𝐼) = ∅)
ssdifidl.6 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆𝑝) = ∅ ∧ 𝐼𝑝)}
Assertion
Ref Expression
ssdifidl (𝜑 → ∃𝑖𝑃𝑗𝑃 ¬ 𝑖𝑗)
Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ssdifidl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 4213 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐼 → (𝑆𝑝) = (𝑆𝐼))
21eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐼 → ((𝑆𝑝) = ∅ ↔ (𝑆𝐼) = ∅))
3 sseq2 4009 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐼 → (𝐼𝑝𝐼𝐼))
42, 3anbi12d 632 . . . . 5 (𝑝 = 𝐼 → (((𝑆𝑝) = ∅ ∧ 𝐼𝑝) ↔ ((𝑆𝐼) = ∅ ∧ 𝐼𝐼)))
5 ssdifidl.3 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6 ssdifidl.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐼) = ∅)
7 ssidd 4006 . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐼)
86, 7jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐼) = ∅ ∧ 𝐼𝐼))
94, 5, 8elrabd 3693 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆𝑝) = ∅ ∧ 𝐼𝑝)})
10 ssdifidl.6 . . . 4 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆𝑝) = ∅ ∧ 𝐼𝑝)}
119, 10eleqtrrdi 2851 . . 3 (𝜑𝐼𝑃)
1211ne0d 4341 . 2 (𝜑𝑃 ≠ ∅)
13 ssdifidl.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
14 ssdifidl.2 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
165adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17 ssdifidl.4 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐵)
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝑆𝐵)
196adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → (𝑆𝐼) = ∅)
20 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝑧𝑃)
21 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
22 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → [] Or 𝑧)
2313, 15, 16, 18, 19, 10, 20, 21, 22ssdifidllem 33485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧)) → 𝑧𝑃)
2423ex 412 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧) → 𝑧𝑃))
2524alrimiv 1926 . 2 (𝜑 → ∀𝑧((𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧) → 𝑧𝑃))
26 fvex 6918 . . . 4 (LIdeal‘𝑅) ∈ V
2710, 26rabex2 5340 . . 3 𝑃 ∈ V
2827zornn0 10549 . 2 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧𝑃𝑧 ≠ ∅ ∧ [] Or 𝑧) → 𝑧𝑃)) → ∃𝑖𝑃𝑗𝑃 ¬ 𝑖𝑗)
2912, 25, 28syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑖𝑃𝑗𝑃 ¬ 𝑖𝑗)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086  wal 1537   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  cin 3949  wss 3950  wpss 3951  c0 4332   cuni 4906   Or wor 5590  cfv 6560   [] crpss 7743  Basecbs 17248  Ringcrg 20231  LIdealclidl 21217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219
This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33487
  Copyright terms: Public domain W3C validator