Theorem ssdifidl 21548

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be an ideal of 𝑅 disjoint with a set 𝑆. Then there exists an ideal 𝑖, maximal among the set 𝑃 of ideals containing 𝐼 and disjoint with 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdifidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ssdifidl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ssdifidl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
ssdifidl.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
ssdifidl.5	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
ssdifidl.6	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
ssdifidl	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐵(𝑖, 𝑗, 𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑖, 𝑗)   𝑆(𝑖, 𝑗)   𝐼(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem ssdifidl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑆 ∩ 𝑝) = (𝑆 ∩ 𝐼))
2	1	eqeq1d 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅))
3		sseq2 3957	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
4	2, 3	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
5		ssdifidl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ssdifidl.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
7		ssidd 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
8	6, 7	jca 521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
9	4, 5, 8	elrabd 3647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
10		ssdifidl.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
11	9, 10	eleqtrrdi 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
12	11	ne0d 4288	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ ∅)
13		ssdifidl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		ssdifidl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		ssdifidl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
20		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ 𝑃)
21		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
22		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
23	13, 15, 16, 18, 19, 10, 20, 21, 22	ssdifidllem 21547	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)
24	23	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
25	24	alrimiv 1960	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
26		fvex 6891	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5305	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
28	27	zornn0 10510	. 2 ⊢ ((𝑃 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)
29	12, 25, 28	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ⊊ wpss 3900  ∅c0 4279  ∪ cuni 4867   Or wor 5562  ‘cfv 6533   [⊊] crpss 7723  Basecbs 17301  Ringcrg 20372  LIdealclidl 21393

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-ac2 10465  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7724  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-ac 10119  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-sbg 19062  df-subg 19246  df-cmn 19909  df-abl 19910  df-mgp 20274  df-rng 20288  df-ur 20321  df-ring 20374  df-subrg 20732  df-lmod 21046  df-lss 21116  df-sra 21357  df-rgmod 21358  df-lidl 21395

This theorem is used by:  ssdifidlprm  21549