Theorem ssdifidl 33517

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be an ideal of 𝑅 disjoint with a set 𝑆. Then there exists an ideal 𝑖, maximal among the set 𝑃 of ideals containing 𝐼 and disjoint with 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdifidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ssdifidl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ssdifidl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
ssdifidl.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
ssdifidl.5	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
ssdifidl.6	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
ssdifidl	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ssdifidl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑆 ∩ 𝑝) = (𝑆 ∩ 𝐼))
2	1	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅))
3		sseq2 3948	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
4	2, 3	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
5		ssdifidl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ssdifidl.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
7		ssidd 3945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
8	6, 7	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
9	4, 5, 8	elrabd 3636	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
10		ssdifidl.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
11	9, 10	eleqtrrdi 2847	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
12	11	ne0d 4282	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ ∅)
13		ssdifidl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		ssdifidl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		ssdifidl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
20		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ 𝑃)
21		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
22		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
23	13, 15, 16, 18, 19, 10, 20, 21, 22	ssdifidllem 33516	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
25	24	alrimiv 1929	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
26		fvex 6853	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5282	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
28	27	zornn0 10430	. 2 ⊢ ((𝑃 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)
29	12, 25, 28	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  ∅c0 4273  ∪ cuni 4850   Or wor 5538  ‘cfv 6498   [⊊] crpss 7676  Basecbs 17179  Ringcrg 20214  LIdealclidl 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-rpss 7677  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-ac 10038  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrg 20547  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206

This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33518