Theorem ssdifidl 33605

Description: Let 𝑅 be a ring, and let 𝐼 be an ideal of 𝑅 disjoint with a set 𝑆. Then there exists an ideal 𝑖, maximal among the set 𝑃 of ideals containing 𝐼 and disjoint with 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ssdifidl.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ssdifidl.2	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ssdifidl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
ssdifidl.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
ssdifidl.5	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
ssdifidl.6	⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}

Assertion

Ref	Expression
ssdifidl	⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Distinct variable groups:   𝐼,𝑝   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑝   𝑆,𝑝   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐵(𝑖,𝑗,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   𝐼(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem ssdifidl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝑆 ∩ 𝑝) = (𝑆 ∩ 𝐼))
2	1	eqeq1d 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ↔ (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅))
3		sseq2 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (𝐼 ⊆ 𝑝 ↔ 𝐼 ⊆ 𝐼))
4	2, 3	anbi12d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝐼 → (((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝) ↔ ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼)))
5		ssdifidl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
6		ssdifidl.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
7		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
8	6, 7	jca 519	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝐼) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝐼))
9	4, 5, 8	elrabd 3652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)})
10		ssdifidl.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = {𝑝 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∣ ((𝑆 ∩ 𝑝) = ∅ ∧ 𝐼 ⊆ 𝑝)}
11	9, 10	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑃)
12	11	ne0d 4294	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ ∅)
13		ssdifidl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		ssdifidl.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
15	14	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑅 ∈ Ring)
16	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
17		ssdifidl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
18	17	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
19	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → (𝑆 ∩ 𝐼) = ∅)
20		simpr1 1207	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ⊆ 𝑃)
21		simpr2 1208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → 𝑧 ≠ ∅)
22		simpr3 1209	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → [⊊] Or 𝑧)
23	13, 15, 16, 18, 19, 10, 20, 21, 22	ssdifidllem 33604	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧)) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)
24	23	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
25	24	alrimiv 1946	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃))
26		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (LIdeal‘𝑅) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5296	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ V
28	27	zornn0 10462	. 2 ⊢ ((𝑃 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧((𝑧 ⊆ 𝑃 ∧ 𝑧 ≠ ∅ ∧ [⊊] Or 𝑧) → ∪ 𝑧 ∈ 𝑃)) → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)
29	12, 25, 28	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑃 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ¬ 𝑖 ⊊ 𝑗)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097  ∀wal 1557   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  {crab 3413   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904   ⊊ wpss 3905  ∅c0 4285  ∪ cuni 4864   Or wor 5552  ‘cfv 6517   [⊊] crpss 7701  Basecbs 17228  Ringcrg 20262  LIdealclidl 21256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-ac2 10417  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-rpss 7702  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-dju 9856  df-card 9894  df-ac 10069  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-subg 19148  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-lidl 21258

This theorem is referenced by:  ssdifidlprm  33606