Theorem sticksstones15 43014

Description: Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones15.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones15.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones15.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones15	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem sticksstones15

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones15.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones15.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡)))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡))))
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1)))))) = (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1))))))
5		sticksstones15.3	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
6		feq1 6684	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
7		fveq1 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
8		fveq1 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	breq12d 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))
10	9	imbi2d 343	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
11	10	2ralbidv 3228	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
12	6, 11	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦))) ↔ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))))
13	12	cbvabv 2832	. 2 ⊢ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	sticksstones14 43013	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∀wral 3078  ifcif 4485  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   < clt 11270   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ...cfz 13563  Ccbc 14368  ♯chash 14396  Σcsu 15775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776

This theorem is used by:  sticksstones16  43015