Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sticksstones15 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sticksstones15 40615
Description: Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
sticksstones15.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
sticksstones15.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
sticksstones15.3 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
Assertion
Ref Expression
sticksstones15 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   πœ‘,𝑔,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem sticksstones15
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑣 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sticksstones15.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 sticksstones15.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
3 eqid 2733 . 2 (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑑 ∈ (1...𝑧)(π‘£β€˜π‘‘)))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑑 ∈ (1...𝑧)(π‘£β€˜π‘‘))))
4 eqid 2733 . 2 (𝑒 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (𝑀 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑀 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘’β€˜πΎ)), if(𝑀 = 1, ((π‘’β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘’β€˜π‘€) βˆ’ (π‘’β€˜(𝑀 βˆ’ 1))) βˆ’ 1)))))) = (𝑒 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, π‘βŸ©}, (𝑀 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑀 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) βˆ’ (π‘’β€˜πΎ)), if(𝑀 = 1, ((π‘’β€˜1) βˆ’ 1), (((π‘’β€˜π‘€) βˆ’ (π‘’β€˜(𝑀 βˆ’ 1))) βˆ’ 1))))))
5 sticksstones15.3 . 2 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))βŸΆβ„•0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(π‘”β€˜π‘–) = 𝑁)}
6 feq1 6650 . . . 4 (𝑙 = 𝑓 β†’ (𝑙:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾))))
7 fveq1 6842 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑓 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
8 fveq1 6842 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑓 β†’ (π‘™β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
97, 8breq12d 5119 . . . . . 6 (𝑙 = 𝑓 β†’ ((π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦) ↔ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))
109imbi2d 341 . . . . 5 (𝑙 = 𝑓 β†’ ((π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦)) ↔ (π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦))))
11102ralbidv 3209 . . . 4 (𝑙 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦))))
126, 11anbi12d 632 . . 3 (𝑙 = 𝑓 β†’ ((𝑙:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦))) ↔ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))))
1312cbvabv 2806 . 2 {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘™β€˜π‘₯) < (π‘™β€˜π‘¦)))} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟢(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1...𝐾)βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐾)(π‘₯ < 𝑦 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) < (π‘“β€˜π‘¦)))}
141, 2, 3, 4, 5, 13sticksstones14 40614 1 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π΄) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  ifcif 4487  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   βˆ’ cmin 11390  β„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Ccbc 14208  β™―chash 14236  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  sticksstones16  40616
  Copyright terms: Public domain W3C validator