Theorem sticksstones15 40977

Description: Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones15.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones15.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones15.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones15	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem sticksstones15

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones15.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones15.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡)))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡))))
4		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1)))))) = (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1))))))
5		sticksstones15.3	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
6		feq1 6699	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
7		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
8		fveq1 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	breq12d 5162	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))
10	9	imbi2d 341	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
11	10	2ralbidv 3219	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
12	6, 11	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦))) ↔ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))))
13	12	cbvabv 2806	. 2 ⊢ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	sticksstones14 40976	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∀wral 3062  ifcif 4529  {csn 4629  ⟨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248   − cmin 11444  ℕ₀cn0 12472  ...cfz 13484  Ccbc 14262  ♯chash 14290  Σcsu 15632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633

This theorem is referenced by:  sticksstones16  40978