Theorem sticksstones15 42483

Description: Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones15.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones15.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones15.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones15	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem sticksstones15

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones15.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones15.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡)))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡))))
4		eqid 2737	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1)))))) = (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1))))))
5		sticksstones15.3	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
6		feq1 6641	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
7		fveq1 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
8		fveq1 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	breq12d 5112	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
11	10	2ralbidv 3201	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
12	6, 11	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦))) ↔ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))))
13	12	cbvabv 2807	. 2 ⊢ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	sticksstones14 42482	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ifcif 4480  {csn 4581  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  ...cfz 13427  Ccbc 14229  ♯chash 14257  Σcsu 15613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  sticksstones16  42484