Theorem sticksstones15 42450

Description: Sticks and stones with almost collapsed definitions for positive integers. (Contributed by metakunt, 7-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones15.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones15.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
sticksstones15.3	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones15	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑔,𝑁,𝑖   𝜑,𝑔,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑔)

Proof of Theorem sticksstones15

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones15.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		sticksstones15.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡)))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑧 ∈ (1...𝐾) ↦ (𝑧 + Σ𝑡 ∈ (1...𝑧)(𝑣‘𝑡))))
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1)))))) = (𝑢 ∈ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑤 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑤 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑢‘𝐾)), if(𝑤 = 1, ((𝑢‘1) − 1), (((𝑢‘𝑤) − (𝑢‘(𝑤 − 1))) − 1))))))
5		sticksstones15.3	. 2 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
6		feq1 6639	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
7		fveq1 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
8		fveq1 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (𝑙‘𝑦) = (𝑓‘𝑦))
9	7, 8	breq12d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦) ↔ (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))
10	9	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
11	10	2ralbidv 3199	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))))
12	6, 11	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑙 = 𝑓 → ((𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦))) ↔ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))))
13	12	cbvabv 2805	. 2 ⊢ {𝑙 ∣ (𝑙:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑙‘𝑥) < (𝑙‘𝑦)))} = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	sticksstones14 42449	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + 𝐾)C𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2713  ∀wral 3050  ifcif 4478  {csn 4579  ⟨cop 4585   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   < clt 11168   − cmin 11366  ℕ₀cn0 12403  ...cfz 13425  Ccbc 14227  ♯chash 14255  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  sticksstones16  42451