Theorem sticksstones23 42149

Description: Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 7-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones23.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones23.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones23.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones23	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖   𝜑,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones23.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁})
3		df-rab 3412	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
5		nn0ex 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
7		sticksstones23.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
8		elmapg 8816	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
10	9	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)))
11	10	abbidv 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
12	4, 11	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
13	2, 12	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
14	13	fveq2d 6869	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}))
15		sticksstones23.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		sticksstones23.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17		eqid 2730	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
18	15, 7, 16, 17	sticksstones22 42148	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))
19	14, 18	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708   ≠ wne 2927  {crab 3411  Vcvv 3455  ∅c0 4304   class class class wbr 5115  ⟶wf 6515  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8922   + caddc 11089   ≤ cle 11227  ℕ₀cn0 12458  Ccbc 14277  ♯chash 14305  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-inf2 9612  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163  ax-pre-sup 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-se 5600  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-isom 6528  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-oadd 8447  df-er 8682  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9411  df-inf 9412  df-oi 9481  df-dju 9872  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11852  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-n0 12459  df-z 12546  df-uz 12810  df-rp 12966  df-ico 13325  df-fz 13482  df-fzo 13629  df-seq 13977  df-exp 14037  df-fac 14249  df-bc 14278  df-hash 14306  df-cj 15075  df-re 15076  df-im 15077  df-sqrt 15211  df-abs 15212  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem3  42152