Theorem sticksstones23 42159

Description: Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 7-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones23.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones23.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones23.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones23	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖   𝜑,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones23.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁})
3		df-rab 3393	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
5		nn0ex 12378	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
7		sticksstones23.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
8		elmapg 8757	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
10	9	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)))
11	10	abbidv 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
12	4, 11	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
13	2, 12	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
14	13	fveq2d 6820	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}))
15		sticksstones23.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		sticksstones23.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
18	15, 7, 16, 17	sticksstones22 42158	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))
19	14, 18	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707   ≠ wne 2925  {crab 3392  Vcvv 3433  ∅c0 4280   class class class wbr 5088  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863   + caddc 11000   ≤ cle 11138  ℕ₀cn0 12372  Ccbc 14197  ♯chash 14225  Σcsu 15580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-oadd 8383  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-rp 12882  df-ico 13242  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-seq 13897  df-exp 13957  df-fac 14169  df-bc 14198  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-sum 15581

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem3  42162