Theorem sticksstones23 42104

Description: Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 7-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones23.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones23.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones23.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones23	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖   𝜑,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓,𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones23.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁})
3		df-rab 3420	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
5		nn0ex 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
7		sticksstones23.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
8		elmapg 8860	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
10	9	anbi1d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)))
11	10	abbidv 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
12	4, 11	eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
13	2, 12	eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
14	13	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}))
15		sticksstones23.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		sticksstones23.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
18	15, 7, 16, 17	sticksstones22 42103	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))
19	14, 18	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cab 2712   ≠ wne 2931  {crab 3419  Vcvv 3463  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8966   + caddc 11139   ≤ cle 11277  ℕ₀cn0 12508  Ccbc 14322  ♯chash 14350  Σcsu 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-div 11902  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-rp 13016  df-ico 13374  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14294  df-bc 14323  df-hash 14351  df-cj 15119  df-re 15120  df-im 15121  df-sqrt 15255  df-abs 15256  df-clim 15505  df-sum 15704

This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem3  42107