Theorem sticksstones23 42968

Description: Non-exhaustive sticks and stones. (Contributed by metakunt, 7-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sticksstones23.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
sticksstones23.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
sticksstones23.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
sticksstones23.4	⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}

Assertion

Ref	Expression
sticksstones23	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑁   𝑆,𝑓,𝑖   𝜑,𝑓,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓, 𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem sticksstones23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones23.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁})
3		df-rab 3420	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
5		nn0ex 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 ∈ V
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
7		sticksstones23.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
8		elmapg 8838	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℕ0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
9	6, 7, 8	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ↔ 𝑓:𝑆⟶ℕ0))
10	9	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁) ↔ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)))
11	10	abbidv 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∣ (𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
12	4, 11	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑆) ∣ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
13	2, 12	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)})
14	13	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}))
15		sticksstones23.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		sticksstones23.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
17		eqid 2766	. . 3 ⊢ {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)} = {𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}
18	15, 7, 16, 17	sticksstones22 42967	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑓 ∣ (𝑓:𝑆⟶ℕ0 ∧ Σ𝑖 ∈ 𝑆 (𝑓‘𝑖) ≤ 𝑁)}) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))
19	14, 18	eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = ((𝑁 + (♯‘𝑆))C(♯‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2744   ≠ wne 2961  {crab 3419  Vcvv 3458  ∅c0 4289   class class class wbr 5112  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8945   + caddc 11113   ≤ cle 11254  ℕ₀cn0 12514  Ccbc 14349  ♯chash 14377  Σcsu 15748

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-ico 13388  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-fac 14321  df-bc 14350  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550  df-sum 15749

This theorem is used by:  aks6d1c6lem3  42971