Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks6d1c6lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks6d1c6lem1 42152
Description: Lemma for claim 6, deduce exact degree of the polynomial. (Contributed by metakunt, 7-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks6d1c6.1 = {⟨𝑒, 𝑓⟩ ∣ (𝑒 ∈ ℕ ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ∀𝑦 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅)(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))(((eval1𝐾)‘𝑓)‘𝑦)) = (((eval1𝐾)‘𝑓)‘(𝑒(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)))}
aks6d1c6.2 𝑃 = (chr‘𝐾)
aks6d1c6.3 (𝜑𝐾 ∈ Field)
aks6d1c6.4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
aks6d1c6.5 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks6d1c6.6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aks6d1c6.7 (𝜑𝑃𝑁)
aks6d1c6.8 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks6d1c6.9 (𝜑𝐴 < 𝑃)
aks6d1c6.10 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
aks6d1c6.11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
aks6d1c6.12 𝐸 = (𝑘 ∈ ℕ0, 𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑃𝑘) · ((𝑁 / 𝑃)↑𝑙)))
aks6d1c6.13 𝐿 = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑅))
aks6d1c6.14 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)𝑁 ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑎))))
aks6d1c6.15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ↦ (𝑃(.g‘(mulGrp‘𝐾))𝑥)) ∈ (𝐾 RingIso 𝐾))
aks6d1c6.16 (𝜑𝑀 ∈ ((mulGrp‘𝐾) PrimRoots 𝑅))
aks6d1c6.17 𝐻 = ( ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ (((eval1𝐾)‘(𝐺))‘𝑀))
aks6d1c6.18 𝐷 = (♯‘(𝐿 “ (𝐸 “ (ℕ0 × ℕ0))))
aks6d1c6.19 𝑆 = {𝑠 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ∣ Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑠𝑡) ≤ (𝐷 − 1)}
aks6d1c6lem1.1 (𝜑𝑈 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
Assertion
Ref Expression
aks6d1c6lem1 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝐺𝑈)) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑈𝑡))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑖   𝑡,𝐴,𝑖   𝑔,𝐾,𝑖   𝑡,𝐾   𝑈,𝑔,𝑖   𝑡,𝑈   𝜑,𝑔,𝑖   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   (𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑒,𝑓,,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑡,𝑒,𝑓,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑠,𝑎,𝑙)

Proof of Theorem aks6d1c6lem1
StepHypRef Expression
1 aks6d1c6.10 . . . . 5 𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
32fveq1d 6909 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑈) = ((𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘𝑈))
43fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝐺𝑈)) = ((deg1𝐾)‘((𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘𝑈)))
5 eqidd 2736 . . . . 5 (𝜑 → (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = (𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
6 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 = 𝑈) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑔 = 𝑈)
76fveq1d 6909 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑔 = 𝑈) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑔𝑖) = (𝑈𝑖))
87oveq1d 7446 . . . . . . 7 (((𝜑𝑔 = 𝑈) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))
98mpteq2dva 5248 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 = 𝑈) → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
109oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑔 = 𝑈) → ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) = ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
11 aks6d1c6lem1.1 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)))
12 ovexd 7466 . . . . 5 (𝜑 → ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))) ∈ V)
135, 10, 11, 12fvmptd 7023 . . . 4 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘𝑈) = ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))
1413fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘𝑈)) = ((deg1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))))
15 aks6d1c6.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Field)
16 fldidom 20788 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ IDomn)
18 fzfid 14011 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ Fin)
19 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘(Poly1𝐾)) = (mulGrp‘(Poly1𝐾))
20 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(Poly1𝐾))
2119, 20mgpbas 20158 . . . . . . . . 9 (Base‘(Poly1𝐾)) = (Base‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
22 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾))) = (.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))
2315fldcrngd 20759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ CRing)
24 crngring 20263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ CRing → 𝐾 ∈ Ring)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
26 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1𝐾) = (Poly1𝐾)
2726ply1ring 22265 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Ring → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
2825, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Ring)
2919ringmgp 20257 . . . . . . . . . . 11 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (mulGrp‘(Poly1𝐾)) ∈ Mnd)
32 nn0ex 12530 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
34 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0...𝐴) ∈ V)
3533, 34elmapd 8879 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↔ 𝑈:(0...𝐴)⟶ℕ0))
3611, 35mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈:(0...𝐴)⟶ℕ0)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑈:(0...𝐴)⟶ℕ0)
38 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → 𝑖 ∈ (0...𝐴))
3937, 38ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (𝑈𝑖) ∈ ℕ0)
40 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑖 → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)) = ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))
4140oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑖 → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) = ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))
4241eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑖 → (((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ↔ ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))))
43 ringmnd 20261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Poly1𝐾) ∈ Ring → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
4428, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (Poly1𝐾) ∈ Mnd)
4625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 𝐾 ∈ Ring)
47 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (var1𝐾) = (var1𝐾)
4847, 26, 20vr1cl 22235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ Ring → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
50 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤRHom‘𝐾) = (ℤRHom‘𝐾)
5150zrhrhm 21540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
5225, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾))
53 zringbas 21482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ = (Base‘ℤring)
54 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5553, 54rhmf 20502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℤRHom‘𝐾) ∈ (ℤring RingHom 𝐾) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
5652, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (ℤRHom‘𝐾):ℤ⟶(Base‘𝐾))
58 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ (0...𝐴) → 𝑡 ∈ ℤ)
5958adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 𝑡 ∈ ℤ)
6057, 59ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡) ∈ (Base‘𝐾))
61 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (algSc‘(Poly1𝐾)) = (algSc‘(Poly1𝐾))
6226, 61, 54, 20ply1sclcl 22305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡) ∈ (Base‘𝐾)) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6346, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
64 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g‘(Poly1𝐾)) = (+g‘(Poly1𝐾))
6520, 64mndcl 18768 . . . . . . . . . . . . 13 (((Poly1𝐾) ∈ Mnd ∧ (var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6645, 49, 63, 65syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6766ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0...𝐴)((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6867adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0...𝐴)((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
6942, 68, 38rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
7021, 22, 31, 39, 69mulgnn0cld 19126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)))
7126ply1idom 26179 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ IDomn → (Poly1𝐾) ∈ IDomn)
7217, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Poly1𝐾) ∈ IDomn)
7372adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (Poly1𝐾) ∈ IDomn)
7441neeq1d 2998 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑖 → (((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾))))
75 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (deg1𝐾) = (deg1𝐾)
7675, 26, 20deg1xrcl 26136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ ℝ*)
7763, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ ℝ*)
78 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ*
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 0 ∈ ℝ*)
80 1xr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℝ*
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 1 ∈ ℝ*)
8275, 26, 54, 61deg1sclle 26166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡) ∈ (Base‘𝐾)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≤ 0)
8346, 60, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≤ 0)
84 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 < 1
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 0 < 1)
8677, 79, 81, 83, 85xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) < 1)
8721, 22mulg1 19112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((var1𝐾) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) → (1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) = (var1𝐾))
8849, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)) = (var1𝐾))
8988eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (var1𝐾) = (1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾)))
9089fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘(var1𝐾)) = ((deg1𝐾)‘(1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))))
91 isfld 20757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ Field ↔ (𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing))
92 drngnzr 20765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐾 ∈ DivRing → 𝐾 ∈ NzRing)
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ DivRing ∧ 𝐾 ∈ CRing) → 𝐾 ∈ NzRing)
9491, 93sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ NzRing)
9515, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ NzRing)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 𝐾 ∈ NzRing)
97 1nn0 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 1 ∈ ℕ0)
9975, 26, 47, 19, 22deg1pw 26175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((deg1𝐾)‘(1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = 1)
10096, 98, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘(1(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))(var1𝐾))) = 1)
10190, 100eqtr2d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 1 = ((deg1𝐾)‘(var1𝐾)))
10286, 101breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) < ((deg1𝐾)‘(var1𝐾)))
10326, 75, 46, 20, 64, 49, 63, 102deg1add 26157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) = ((deg1𝐾)‘(var1𝐾)))
10490, 100eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘(var1𝐾)) = 1)
105103, 104eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) = 1)
106105, 98eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) ∈ ℕ0)
107 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Poly1𝐾)) = (0g‘(Poly1𝐾))
10875, 26, 107, 20deg1nn0clb 26144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Ring ∧ ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾))) → (((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) ∈ ℕ0))
10946, 66, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)) ↔ ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) ∈ ℕ0))
110106, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
111110ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0...𝐴)((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
112111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ∀𝑡 ∈ (0...𝐴)((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
11374, 112, 38rspcdva 3623 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
11473, 69, 113, 39, 22idomnnzpownz 42114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾)))
11570, 114jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝐴)) → (((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾))))
116115ralrimiva 3144 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝐴)(((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ∈ (Base‘(Poly1𝐾)) ∧ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) ≠ (0g‘(Poly1𝐾))))
11717, 18, 116deg1gprod 42122 . . . . 5 (𝜑 → (((deg1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)((deg1𝐾)‘((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡)) ∧ 0 ≤ ((deg1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))))
118117simpld 494 . . . 4 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)((deg1𝐾)‘((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡)))
119 eqidd 2736 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))) = (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))
120 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → 𝑖 = 𝑡)
121120fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → (𝑈𝑖) = (𝑈𝑡))
122120fveq2d 6911 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖) = ((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))
123122fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)) = ((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))
124123oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))) = ((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))
125121, 124oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) ∧ 𝑖 = 𝑡) → ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))) = ((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))))
126 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 𝑡 ∈ (0...𝐴))
127 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))) ∈ V)
128119, 125, 126, 127fvmptd 7023 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡) = ((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡)))))
129128fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡)) = ((deg1𝐾)‘((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))))
13017adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → 𝐾 ∈ IDomn)
13136ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (𝑈𝑡) ∈ ℕ0)
132130, 66, 110, 131, 22, 75deg1pow 42123 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))) = ((𝑈𝑡) · ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))))
133105oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑡) · ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))) = ((𝑈𝑡) · 1))
134131nn0cnd 12587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → (𝑈𝑡) ∈ ℂ)
135134mulridd 11276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑡) · 1) = (𝑈𝑡))
136133, 135eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((𝑈𝑡) · ((deg1𝐾)‘((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))) = (𝑈𝑡))
137132, 136eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((𝑈𝑡)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑡))))) = (𝑈𝑡))
138129, 137eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (0...𝐴)) → ((deg1𝐾)‘((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡)) = (𝑈𝑡))
139138sumeq2dv 15735 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)((deg1𝐾)‘((𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))‘𝑡)) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑈𝑡))
140118, 139eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑈𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖))))))) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑈𝑡))
14114, 140eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘((𝑔 ∈ (ℕ0m (0...𝐴)) ↦ ((mulGrp‘(Poly1𝐾)) Σg (𝑖 ∈ (0...𝐴) ↦ ((𝑔𝑖)(.g‘(mulGrp‘(Poly1𝐾)))((var1𝐾)(+g‘(Poly1𝐾))((algSc‘(Poly1𝐾))‘((ℤRHom‘𝐾)‘𝑖)))))))‘𝑈)) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑈𝑡))
1424, 141eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝐺𝑈)) = Σ𝑡 ∈ (0...𝐴)(𝑈𝑡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210  cmpt 5231   × cxp 5687  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  ...cfz 13544  cexp 14099  chash 14366  Σcsu 15719  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486   RingIso crs 20487  NzRingcnzr 20529  IDomncidom 20710  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  chrcchr 21530  ℤ/nczn 21531  algSccascl 21890  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334  deg1cdg1 26108   PrimRoots cprimroots 42073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-coe1 22200  df-mdeg 26109  df-deg1 26110
This theorem is referenced by:  aks6d1c6lem3  42154
  Copyright terms: Public domain W3C validator