Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgh 25109
 Description: The exponential function of a scaled complex number is a group homomorphism from the group of complex numbers under addition to the set of complex numbers under multiplication. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
efgh.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
efgh (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem efgh
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1l 1193 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp1r 1194 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3 cnfldbas 20522 . . . . . . . 8 ℂ = (Base‘ℂfld)
43subgss 18256 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6 simp2 1133 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐵𝑋)
75, 6sseldd 3944 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
8 simp3 1134 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐶𝑋)
95, 8sseldd 3944 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
101, 7, 9adddid 10641 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
1110fveq2d 6648 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))))
121, 7mulcld 10637 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
131, 9mulcld 10637 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14 efadd 15425 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
1512, 13, 14syl2anc 586 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
1611, 15eqtrd 2855 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
17 efgh.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18 oveq2 7139 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
1918fveq2d 6648 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
2019cbvmptv 5143 . . . 4 (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑦𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
2117, 20eqtri 2843 . . 3 𝐹 = (𝑦𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
22 oveq2 7139 . . . 4 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
2322fveq2d 6648 . . 3 (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
24 cnfldadd 20523 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
2524subgcl 18265 . . . 4 ((𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant1l 1172 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
27 fvexd 6659 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) ∈ V)
2821, 23, 26, 27fvmptd3 6765 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
29 oveq2 7139 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
3029fveq2d 6648 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
31 fvexd 6659 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ V)
3221, 30, 6, 31fvmptd3 6765 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹𝐵) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
33 oveq2 7139 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
3433fveq2d 6648 . . . 4 (𝑦 = 𝐶 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
35 fvexd 6659 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ V)
3621, 34, 8, 35fvmptd3 6765 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹𝐶) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
3732, 36oveq12d 7149 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
3816, 28, 373eqtr4d 2865 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹𝐵) · (𝐹𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3473   ⊆ wss 3912   ↦ cmpt 5120  ‘cfv 6329  (class class class)co 7131  ℂcc 10511   + caddc 10516   · cmul 10518  expce 15393  SubGrpcsubg 18249  ℂfldccnfld 20518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592  ax-mulf 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-oadd 8082  df-er 8265  df-pm 8385  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-z 11959  df-dec 12076  df-uz 12221  df-rp 12367  df-ico 12721  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-seq 13352  df-exp 13413  df-fac 13617  df-bc 13646  df-hash 13674  df-shft 14404  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-limsup 14806  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-ef 15399  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-starv 16556  df-tset 16560  df-ple 16561  df-ds 16563  df-unif 16564  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-grp 18082  df-subg 18252  df-cnfld 20519 This theorem is referenced by:  efabl  25118
 Copyright terms: Public domain W3C validator