Theorem efgh 26786

Description: The exponential function of a scaled complex number is a group homomorphism from the group of complex numbers under addition to the set of complex numbers under multiplication. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgh.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
efgh	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem efgh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3		cnfldbas 21595	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subgss 19256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
7	5, 6	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9	5, 8	sseldd 3935	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1, 7, 9	adddid 11261	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
11	10	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))))
12	1, 7	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 9	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14		efadd 16186	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
15	12, 13, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
16	11, 15	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
17		efgh.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
19	18	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
20	19	cbvmptv 5213	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
21	17, 20	eqtri 2785	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
22		oveq2 7425	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
23	22	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
24		cnfldadd 21597	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subgcl 19265	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
26	25	3adant1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
27		fvexd 6897	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) ∈ V)
28	21, 23, 26, 27	fvmptd3 7014	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
29		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
30	29	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
31		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ V)
32	21, 30, 6, 31	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐵) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
33		oveq2 7425	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
34	33	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
35		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ V)
36	21, 34, 8, 35	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
37	32, 36	oveq12d 7435	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
38	16, 28, 37	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   + caddc 11131   · cmul 11133  expce 16153  SubGrpcsubg 19249  ℂ_fldccnfld 21591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-hash 14399  df-shft 15144  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-ef 16159  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-subg 19252  df-cnfld 21592

This theorem is used by:  efabl  26795