Theorem efgh 26684

Description: The exponential function of a scaled complex number is a group homomorphism from the group of complex numbers under addition to the set of complex numbers under multiplication. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgh.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
efgh	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem efgh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1216	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1r 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3		cnfldbas 21507	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subgss 19194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
7	5, 6	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9	5, 8	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1, 7, 9	adddid 11234	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
11	10	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))))
12	1, 7	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 9	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14		efadd 16149	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
16	11, 15	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
17		efgh.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
19	18	fveq2d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
20	19	cbvmptv 5216	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
21	17, 20	eqtri 2786	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
22		oveq2 7420	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
23	22	fveq2d 6887	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
24		cnfldadd 21509	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subgcl 19203	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
26	25	3adant1l 1195	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
27		fvexd 6898	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) ∈ V)
28	21, 23, 26, 27	fvmptd3 7015	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
29		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
30	29	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
31		fvexd 6898	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ V)
32	21, 30, 6, 31	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐵) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
33		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
34	33	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
35		fvexd 6898	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ V)
36	21, 34, 8, 35	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
37	32, 36	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
38	16, 28, 37	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099   + caddc 11104   · cmul 11106  expce 16116  SubGrpcsubg 19187  ℂ_fldccnfld 21503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-subg 19190  df-cnfld 21504

This theorem is referenced by:  efabl  26693