Theorem efgh 26506

Description: The exponential function of a scaled complex number is a group homomorphism from the group of complex numbers under addition to the set of complex numbers under multiplication. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgh.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
efgh	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem efgh

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
2		simp1r 1199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3		cnfldbas 21313	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
4	3	subgss 19057	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
7	5, 6	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ 𝑋)
9	5, 8	sseldd 3934	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	1, 7, 9	adddid 11156	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
11	10	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))))
12	1, 7	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 9	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
14		efadd 16017	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
16	11, 15	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
17		efgh.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 𝑦))
19	18	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
20	19	cbvmptv 5202	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
21	17, 20	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑦)))
22		oveq2 7366	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)))
23	22	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐵 + 𝐶) → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
24		cnfldadd 21315	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
25	24	subgcl 19066	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
26	25	3adant1l 1177	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
27		fvexd 6849	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))) ∈ V)
28	21, 23, 26, 27	fvmptd3 6964	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = (exp‘(𝐴 · (𝐵 + 𝐶))))
29		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐵))
30	29	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
31		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐵)) ∈ V)
32	21, 30, 6, 31	fvmptd3 6964	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐵) = (exp‘(𝐴 · 𝐵)))
33		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝐴 · 𝑦) = (𝐴 · 𝐶))
34	33	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (exp‘(𝐴 · 𝑦)) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
35		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝐶)) ∈ V)
36	21, 34, 8, 35	fvmptd3 6964	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝐶) = (exp‘(𝐴 · 𝐶)))
37	32, 36	oveq12d 7376	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)) = ((exp‘(𝐴 · 𝐵)) · (exp‘(𝐴 · 𝐶))))
38	16, 28, 37	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝐵 + 𝐶)) = ((𝐹‘𝐵) · (𝐹‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   · cmul 11031  expce 15984  SubGrpcsubg 19050  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-subg 19053  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by:  efabl  26515