MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg 24736
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1divalg.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 ply1divalg.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 ply1divalg.m . . 3 = (-g𝑃)
5 ply1divalg.z . . 3 0 = (0g𝑃)
6 ply1divalg.t . . 3 = (.r𝑃)
7 ply1divalg.r1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
9 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
10 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
11 eqid 2824 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2824 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
14 ply1divalg.g3 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
15 ply1divalg.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16 eqid 2824 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
1715, 16, 12ringinvcl 19424 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
187, 14, 17syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
1915, 16, 13, 11unitrinv 19426 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))(.r𝑅)((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)))) = (1r𝑅))
207, 14, 19syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))(.r𝑅)((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)))) = (1r𝑅))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 24735 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
22 eqid 2824 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
2322, 15unitrrg 20061 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
247, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
2524, 14sseldd 3954 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 24734 . 2 (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
27 reu5 3414 . 2 (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
2821, 26, 27sylanbrc 586 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wrex 3134  ∃!wreu 3135  ∃*wrmo 3136  wss 3919   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146   < clt 10669  Basecbs 16481  .rcmulr 16564  0gc0g 16711  -gcsg 18103  1rcur 19249  Ringcrg 19295  Unitcui 19387  invrcinvr 19419  RLRegcrlreg 20047  Poly1cpl1 20340  coe1cco1 20341   deg1 cdg1 24653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-ofr 7401  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-hash 13694  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-submnd 17955  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-mulg 18223  df-subg 18274  df-ghm 18354  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-abl 18907  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-subrg 19528  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-rlreg 20051  df-psr 20131  df-mvr 20132  df-mpl 20133  df-opsr 20135  df-psr1 20343  df-vr1 20344  df-ply1 20345  df-coe1 20346  df-cnfld 20541  df-mdeg 24654  df-deg1 24655
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  24737
  Copyright terms: Public domain W3C validator