Theorem ply1divalg 26171

Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ply1divalg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		ply1divalg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg.r1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
11		eqid 2756	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2756	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		ply1divalg.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
15		ply1divalg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
17	15, 16, 12	ringinvcl 20413	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
18	7, 14, 17	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 16, 13, 11	unitrinv 20415	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
20	7, 14, 19	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20	ply1divex 26170	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
22		eqid 2756	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
23	22, 15	unitrrg 20725	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24, 14	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22	ply1divmo 26169	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
27		reu5 3363	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
28	21, 26, 27	sylanbrc 591	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  ∃wrex 3080  ∃!wreu 3359  ∃*wrmo 3360   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385   < clt 11206  Basecbs 17221  ._rcmulr 17263  0_gc0g 17444  -_gcsg 18953  1_rcur 20203  Ringcrg 20255  Unitcui 20376  inv_rcinvr 20408  RLRegcrlreg 20713  Poly₁cpl1 22212  coe₁cco1 22213  deg₁cdg1 26087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-ofr 7650  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-tpos 8194  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-hash 14334  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-prds 17452  df-pws 17454  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-mhm 18793  df-submnd 18794  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19230  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-abl 19799  df-mgp 20163  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-cring 20258  df-oppr 20358  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-subrng 20568  df-subrg 20592  df-rlreg 20716  df-lmod 20902  df-lss 20972  df-cnfld 21398  df-psr 21934  df-mvr 21935  df-mpl 21936  df-opsr 21938  df-psr1 22215  df-vr1 22216  df-ply1 22217  df-coe1 22218  df-mdeg 26088  df-deg1 26089

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  26172