Theorem ply1divalg 26486

Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ply1divalg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		ply1divalg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg.r1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2763	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		ply1divalg.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
15		ply1divalg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
17	15, 16, 12	ringinvcl 20652	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
18	7, 14, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 16, 13, 11	unitrinv 20654	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
20	7, 14, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20	ply1divex 26485	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
22		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
23	22, 15	unitrrg 20985	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	7, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24, 14	sseldd 3914	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22	ply1divmo 26484	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
27		reu5 3371	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
28	21, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090  ∃!wreu 3367  ∃*wrmo 3368   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   < clt 11370  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458  0_gc0g 17639  -_gcsg 19175  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  Unitcui 20615  inv_rcinvr 20647  RLRegcrlreg 20973  Poly₁cpl1 22525  coe₁cco1 22526  deg₁cdg1 26402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-ofr 7718  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-mulg 19307  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-rlreg 20976  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-cnfld 21709  df-psr 22247  df-mvr 22248  df-mpl 22249  df-opsr 22251  df-psr1 22528  df-vr1 22529  df-ply1 22530  df-coe1 22531  df-mdeg 26403  df-deg1 26404

This theorem is used by:  ply1divalg2  26487