MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1divalg 24238
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1divalg.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1divalg.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m = (-g𝑃)
ply1divalg.z 0 = (0g𝑃)
ply1divalg.t = (.r𝑃)
ply1divalg.r1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f (𝜑𝐹𝐵)
ply1divalg.g1 (𝜑𝐺𝐵)
ply1divalg.g2 (𝜑𝐺0 )
ply1divalg.g3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1divalg (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ,𝑞   0 ,𝑞
Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1divalg.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑅)
3 ply1divalg.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 ply1divalg.m . . 3 = (-g𝑃)
5 ply1divalg.z . . 3 0 = (0g𝑃)
6 ply1divalg.t . . 3 = (.r𝑃)
7 ply1divalg.r1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 ply1divalg.f . . 3 (𝜑𝐹𝐵)
9 ply1divalg.g1 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
10 ply1divalg.g2 . . 3 (𝜑𝐺0 )
11 eqid 2799 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
12 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13 eqid 2799 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
14 ply1divalg.g3 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈)
15 ply1divalg.u . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16 eqid 2799 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
1715, 16, 12ringinvcl 18992 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
187, 14, 17syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → ((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
1915, 16, 13, 11unitrinv 18994 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))(.r𝑅)((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)))) = (1r𝑅))
207, 14, 19syl2anc 580 . . 3 (𝜑 → (((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺))(.r𝑅)((invr𝑅)‘((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)))) = (1r𝑅))
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 24237 . 2 (𝜑 → ∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
22 eqid 2799 . . . . . 6 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
2322, 15unitrrg 19616 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
247, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
2524, 14sseldd 3799 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 24236 . 2 (𝜑 → ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
27 reu5 3342 . 2 (∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ↔ (∃𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺) ∧ ∃*𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺)))
2821, 26, 27sylanbrc 579 1 (𝜑 → ∃!𝑞𝐵 (𝐷‘(𝐹 (𝐺 𝑞))) < (𝐷𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  ∃!wreu 3091  ∃*wrmo 3092  wss 3769   class class class wbr 4843  cfv 6101  (class class class)co 6878   < clt 10363  Basecbs 16184  .rcmulr 16268  0gc0g 16415  -gcsg 17740  1rcur 18817  Ringcrg 18863  Unitcui 18955  invrcinvr 18987  RLRegcrlreg 19602  Poly1cpl1 19869  coe1cco1 19870   deg1 cdg1 24155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-ofr 7132  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-hash 13371  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-mulg 17857  df-subg 17904  df-ghm 17971  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-cring 18866  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-rlreg 19606  df-psr 19679  df-mvr 19680  df-mpl 19681  df-opsr 19683  df-psr1 19872  df-vr1 19873  df-ply1 19874  df-coe1 19875  df-cnfld 20069  df-mdeg 24156  df-deg1 24157
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  24239
  Copyright terms: Public domain W3C validator