Theorem ply1divalg 26066

Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		ply1divalg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ply1divalg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		ply1divalg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg.r1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
11		eqid 2728	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		ply1divalg.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
15		ply1divalg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
17	15, 16, 12	ringinvcl 20324	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
18	7, 14, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 16, 13, 11	unitrinv 20326	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
20	7, 14, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20	ply1divex 26065	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
22		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
23	22, 15	unitrrg 21233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24, 14	sseldd 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22	ply1divmo 26064	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
27		reu5 3374	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
28	21, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∃wrex 3066  ∃!wreu 3370  ∃*wrmo 3371   ⊆ wss 3945   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   < clt 11272  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17414  -_gcsg 18885  1_rcur 20114  Ringcrg 20166  Unitcui 20287  inv_rcinvr 20319  RLRegcrlreg 21219  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090   deg₁ cdg1 25980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-hash 14316  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-mulg 19017  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-rlreg 21223  df-cnfld 21273  df-psr 21835  df-mvr 21836  df-mpl 21837  df-opsr 21839  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-mdeg 25981  df-deg1 25982

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  26067