Theorem ply1divalg 26418

Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑅)
3		ply1divalg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ply1divalg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		ply1divalg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg.r1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		ply1divalg.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
15		ply1divalg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
17	15, 16, 12	ringinvcl 20584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
18	7, 14, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 16, 13, 11	unitrinv 20586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
20	7, 14, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20	ply1divex 26417	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
23	22, 15	unitrrg 20917	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	7, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24, 14	sseldd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22	ply1divmo 26416	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
27		reu5 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
28	21, 26, 27	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ∃!wreu 3363  ∃*wrmo 3364   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   < clt 11315  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  0_gc0g 17572  -_gcsg 19108  1_rcur 20369  Ringcrg 20421  Unitcui 20547  inv_rcinvr 20579  RLRegcrlreg 20905  Poly₁cpl1 22457  coe₁cco1 22458  deg₁cdg1 26334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-hash 14443  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-prds 17580  df-pws 17582  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-mulg 19240  df-subg 19295  df-ghm 19390  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-abl 19959  df-mgp 20323  df-rng 20337  df-ur 20370  df-ring 20423  df-cring 20424  df-oppr 20529  df-dvdsr 20549  df-unit 20550  df-invr 20580  df-subrng 20760  df-subrg 20784  df-rlreg 20908  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-cnfld 21641  df-psr 22179  df-mvr 22180  df-mpl 22181  df-opsr 22183  df-psr1 22460  df-vr1 22461  df-ply1 22462  df-coe1 22463  df-mdeg 26335  df-deg1 26336

This theorem is used by:  ply1divalg2  26419