Theorem ply1divalg 25207

Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials 𝐹, 𝐺 such that 𝐺 ≠ 0 and the leading coefficient of 𝐺 is a unit, there are unique polynomials 𝑞 and 𝑟 = 𝐹 − (𝐺 · 𝑞) such that the degree of 𝑟 is less than the degree of 𝐺. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1divalg.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
ply1divalg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1divalg.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
ply1divalg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
ply1divalg.t	⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
ply1divalg.r1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ply1divalg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
ply1divalg.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
ply1divalg.g3	⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
ply1divalg.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1divalg	⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑞   𝐵,𝑞   𝐷,𝑞   𝐹,𝑞   𝐺,𝑞   − ,𝑞   𝑃,𝑞   𝑅,𝑞   ∙ ,𝑞   0 ,𝑞

Allowed substitution hint:   𝑈(𝑞)

Proof of Theorem ply1divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1divalg.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
3		ply1divalg.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		ply1divalg.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
5		ply1divalg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
6		ply1divalg.t	. . 3 ⊢ ∙ = (.r‘𝑃)
7		ply1divalg.r1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
8		ply1divalg.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		ply1divalg.g1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10		ply1divalg.g2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0 )
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
12		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
13		eqid 2738	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
14		ply1divalg.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈)
15		ply1divalg.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
17	15, 16, 12	ringinvcl 19833	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
18	7, 14, 17	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))) ∈ (Base‘𝑅))
19	15, 16, 13, 11	unitrinv 19835	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ 𝑈) → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
20	7, 14, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺))(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)))) = (1r‘𝑅))
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20	ply1divex 25206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
23	22, 15	unitrrg 20477	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
24	7, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (RLReg‘𝑅))
25	24, 14	sseldd 3918	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘𝐺)‘(𝐷‘𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22	ply1divmo 25205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))
27		reu5 3351	. 2 ⊢ (∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ↔ (∃𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺) ∧ ∃*𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺)))
28	21, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑞 ∈ 𝐵 (𝐷‘(𝐹 − (𝐺 ∙ 𝑞))) < (𝐷‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ∃!wreu 3065  ∃*wrmo 3066   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   < clt 10940  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  0_gc0g 17067  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828  RLRegcrlreg 20463  Poly₁cpl1 21258  coe₁cco1 21259   deg₁ cdg1 25121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-rlreg 20467  df-cnfld 20511  df-psr 21022  df-mvr 21023  df-mpl 21024  df-opsr 21026  df-psr1 21261  df-vr1 21262  df-ply1 21263  df-coe1 21264  df-mdeg 25122  df-deg1 25123

This theorem is referenced by:  ply1divalg2  25208