Theorem usgrexmpl2nb4 48019

Description: The neighborhood of the fifth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb4	⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {3, 5}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12329	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
2	1	elexi 3487	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
3	2	tpid2 4751	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 866	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4133	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 48014	. . 3 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 4) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		3ex 12327	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
13	12	tpid1 4749	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
14	13	olci 866	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4133	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		5re 12332	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
18	17	elexi 3487	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
19	18	tpid3 4754	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 866	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4133	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4802	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {3, 5} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		c0ex 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ V
27	26, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ))
29		4ne0 12353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
30		4lt5 12422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
31	1, 30	ltneii 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 5
32	29, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5)
33	32	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
34		prneimg 4835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 5}))
35	28, 33, 34	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 5}
36	35	neii 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 5}
37	36	biorfri 939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
38		prcom 4713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {3, 4} = {4, 3}
39	38	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({4, 𝑛} = {3, 4} ↔ {4, 𝑛} = {4, 3})
40	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
41		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ V → 3 ∈ V)
42	40, 41	preq2b 4828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ V → ({4, 𝑛} = {4, 3} ↔ 𝑛 = 3))
43	12, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({4, 𝑛} = {4, 3} ↔ 𝑛 = 3)
44	39, 43	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({4, 𝑛} = {3, 4} ↔ 𝑛 = 3)
45	44	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {4, 𝑛} = {3, 4})
46	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
47		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ → 5 ∈ ℝ)
48	46, 47	preq2b 4828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 ∈ ℝ → ({4, 𝑛} = {4, 5} ↔ 𝑛 = 5))
49	17, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({4, 𝑛} = {4, 5} ↔ 𝑛 = 5)
50	49	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 5 ↔ {4, 𝑛} = {4, 5})
51	45, 50	orbi12i 914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}))
52		df-3or 1087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
53	37, 51, 52	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
54	2, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
55		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
56	26, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ)
57	54, 56	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ))
58		1lt4 12421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 4
59	55, 58	gtneii 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 1
60	29, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1)
61	60	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
62		prneimg 4835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 1}))
63	57, 61, 62	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 1}
64	63	neii 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 1}
65		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
66	55, 65	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
67	25, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
68		2lt4 12420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 4
69	65, 68	gtneii 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 2
70	59, 69	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2)
71	70	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
72		prneimg 4835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {4, 𝑛} ≠ {1, 2}))
73	67, 71, 72	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {1, 2}
74	73	neii 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {1, 2}
75	65, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V)
76	25, 75	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V))
77		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3lt4 12419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 4
79	77, 78	gtneii 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 3
80	69, 79	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3)
81	80	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
82		prneimg 4835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V)) → (((4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {4, 𝑛} ≠ {2, 3}))
83	76, 81, 82	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {2, 3}
84	83	neii 2935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {2, 3}
85	64, 74, 84	3pm3.2ni 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3})
86	85	biorfi 938	. . . . . . . . 9 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))
87	53, 86	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))
88	26, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
89	25, 88	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
90	29, 79	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3)
91	90	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
92		prneimg 4835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 3}))
93	89, 91, 92	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 3}
94	93	neii 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 3}
95	94	biorfi 938	. . . . . . . 8 ⊢ ((({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
96	87, 95	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
97	24	elpr 4631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ (𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
98		prex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ {4, 𝑛} ∈ V
99		el7g 4671	. . . . . . . 8 ⊢ ({4, 𝑛} ∈ V → ({4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))))
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
101	96, 97, 100	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
103	23, 102	eqrrabd 4066	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
104	103	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {3, 5})
105	16, 22, 104	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {3, 5}
106	11, 105	eqtri 2759	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {3, 5}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420  Vcvv 3464   ∪ cun 3929  {csn 4606  {cpr 4608  {ctp 4610  ⟨cop 4612  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  5c5 12303  ...cfz 13529  ⟨“cs7 14870   NeighbVtx cnbgr 29316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-s4 14874  df-s5 14875  df-s6 14876  df-s7 14877  df-vtx 28982  df-iedg 28983  df-edg 29032  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-usgr 29135  df-nbgr 29317

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48021