Theorem usgrexmpl2nb4 48149

Description: The neighborhood of the fifth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb4	⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {3, 5}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb4

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12219	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
2	1	elexi 3461	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
3	2	tpid2 4724	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 866	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4104	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 48144	. . 3 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 4) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		3ex 12217	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
13	12	tpid1 4722	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
14	13	olci 866	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4104	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		5re 12222	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
18	17	elexi 3461	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
19	18	tpid3 4727	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 866	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4104	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4774	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {3, 5} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		c0ex 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ V
27	26, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ))
29		4ne0 12243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 0
30		4lt5 12307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
31	1, 30	ltneii 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 5
32	29, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5)
33	32	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
34		prneimg 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 5}))
35	28, 33, 34	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 5}
36	35	neii 2932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 5}
37	36	biorfri 939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
38		prcom 4686	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {3, 4} = {4, 3}
39	38	eqeq2i 2746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({4, 𝑛} = {3, 4} ↔ {4, 𝑛} = {4, 3})
40	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
41		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 ∈ V → 3 ∈ V)
42	40, 41	preq2b 4800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ V → ({4, 𝑛} = {4, 3} ↔ 𝑛 = 3))
43	12, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({4, 𝑛} = {4, 3} ↔ 𝑛 = 3)
44	39, 43	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({4, 𝑛} = {3, 4} ↔ 𝑛 = 3)
45	44	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {4, 𝑛} = {3, 4})
46	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
47		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ → 5 ∈ ℝ)
48	46, 47	preq2b 4800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 ∈ ℝ → ({4, 𝑛} = {4, 5} ↔ 𝑛 = 5))
49	17, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({4, 𝑛} = {4, 5} ↔ 𝑛 = 5)
50	49	bicomi 224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 5 ↔ {4, 𝑛} = {4, 5})
51	45, 50	orbi12i 914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}))
52		df-3or 1087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5}) ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
53	37, 51, 52	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))
54	2, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
55		1re 11122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
56	26, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ)
57	54, 56	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ))
58		1lt4 12306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 4
59	55, 58	gtneii 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 1
60	29, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1)
61	60	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
62		prneimg 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 1}))
63	57, 61, 62	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 1}
64	63	neii 2932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 1}
65		2re 12209	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
66	55, 65	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
67	25, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
68		2lt4 12305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 4
69	65, 68	gtneii 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 2
70	59, 69	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2)
71	70	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
72		prneimg 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((4 ≠ 1 ∧ 4 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {4, 𝑛} ≠ {1, 2}))
73	67, 71, 72	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {1, 2}
74	73	neii 2932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {1, 2}
75	65, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V)
76	25, 75	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V))
77		3re 12215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3lt4 12304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 4
79	77, 78	gtneii 11235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≠ 3
80	69, 79	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3)
81	80	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
82		prneimg 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ V)) → (((4 ≠ 2 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {4, 𝑛} ≠ {2, 3}))
83	76, 81, 82	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {2, 3}
84	83	neii 2932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {2, 3}
85	64, 74, 84	3pm3.2ni 1490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3})
86	85	biorfi 938	. . . . . . . . 9 ⊢ (({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))
87	53, 86	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))
88	26, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
89	25, 88	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
90	29, 79	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3)
91	90	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
92		prneimg 4807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((4 ≠ 0 ∧ 4 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {4, 𝑛} ≠ {0, 3}))
93	89, 91, 92	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {4, 𝑛} ≠ {0, 3}
94	93	neii 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {4, 𝑛} = {0, 3}
95	94	biorfi 938	. . . . . . . 8 ⊢ ((({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
96	87, 95	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
97	24	elpr 4602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ (𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
98		prex 5379	. . . . . . . 8 ⊢ {4, 𝑛} ∈ V
99		el7g 4644	. . . . . . . 8 ⊢ ({4, 𝑛} ∈ V → ({4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5})))))
100	98, 99	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({4, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({4, 𝑛} = {0, 1} ∨ {4, 𝑛} = {1, 2} ∨ {4, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({4, 𝑛} = {3, 4} ∨ {4, 𝑛} = {4, 5} ∨ {4, 𝑛} = {0, 5}))))
101	96, 97, 100	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
102	101	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {3, 5} ↔ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
103	23, 102	eqrrabd 4037	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
104	103	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {3, 5})
105	16, 22, 104	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {4, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {3, 5}
106	11, 105	eqtri 2756	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 4) = {3, 5}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  {crab 3397  Vcvv 3438   ∪ cun 3897  {csn 4577  {cpr 4579  {ctp 4581  ⟨cop 4583  (class class class)co 7355  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017  2c2 12190  3c3 12191  4c4 12192  5c5 12193  ...cfz 13417  ⟨“cs7 14763   NeighbVtx cnbgr 29321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-dju 9804  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-4 12200  df-5 12201  df-6 12202  df-7 12203  df-n0 12392  df-xnn0 12465  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565  df-hash 14248  df-word 14431  df-concat 14488  df-s1 14514  df-s2 14765  df-s3 14766  df-s4 14767  df-s5 14768  df-s6 14769  df-s7 14770  df-vtx 28987  df-iedg 28988  df-edg 29037  df-upgr 29071  df-umgr 29072  df-usgr 29140  df-nbgr 29322

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48151