Theorem usgrexmpl2nb1 47940

Description: The neighborhood of the second vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb1	⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11261	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
2	1	tpid2 4776	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 865	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4164	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 47938	. . 3 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		c0ex 11259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
12	11	tpid1 4774	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 865	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4164	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16		2ex 12347	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
17	16	tpid3 4779	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
18	17	orci 865	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
19		elun 4164	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
20	18, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21		prssi 4827	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
22		1re 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		vex 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
24	22, 23	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
25		3ex 12352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ V
26	16, 25	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
27	24, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
28		1ne2 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
29		1lt3 12443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
30	22, 29	ltneii 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 3
31	28, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
32	31	orci 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
33		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {2, 3}))
34	27, 32, 33	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {2, 3}
35	34	neii 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {2, 3}
36	35	biorfri 939	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
37	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
38		elex 3500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
39	37, 38	preq2b 4853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0))
40	11, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0)
41		prcom 4738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
42	41	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
43	40, 42	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
44	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
45		elex 3500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 2 ∈ V)
46	44, 45	preq2b 4853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 2} ↔ 𝑛 = 2))
47	46	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ V → (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2}))
48	16, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2})
49	43, 48	orbi12i 914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}))
50		df-3or 1087	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
51	36, 49, 50	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
52		4nn0 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
53	25, 52	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
54	24, 53	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
55		1lt4 12446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 4
56	22, 55	ltneii 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 4
57	30, 56	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
58	57	orci 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
59		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {1, 𝑛} ≠ {3, 4}))
60	54, 58, 59	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {3, 4}
61	60	neii 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {3, 4}
62		5nn0 12550	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
63	52, 62	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
64	24, 63	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
65		1lt5 12450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 5
66	22, 65	ltneii 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 5
67	56, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
68	67	orci 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
69		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {4, 5}))
70	64, 68, 69	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {4, 5}
71	70	neii 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {4, 5}
72	11, 62	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
73	24, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
74		ax-1ne0 11228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
75	74, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
76	75	orci 865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
77		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 5}))
78	73, 76, 77	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 5}
79	78	neii 2941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 5}
80	61, 71, 79	3pm3.2ni 1488	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})
81	80	biorfri 939	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))
82	11, 25	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
83	24, 82	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
84	74, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
85	84	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
86		prneimg 4860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 3}))
87	83, 85, 86	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 3}
88	87	neii 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 3}
89	88	biorfi 938	. . . . . . . 8 ⊢ ((({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
90	51, 81, 89	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
91	23	elpr 4656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2))
92		prex 5444	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 𝑛} ∈ V
93		el7g 4696	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ V → ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))))
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
95	90, 91, 94	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
96	95	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
97	21, 96	eqrrabd 4097	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
98	97	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2})
99	15, 20, 98	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2}
100	10, 99	eqtri 2764	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3434  Vcvv 3479   ∪ cun 3962  {csn 4632  {cpr 4634  {ctp 4636  ⟨cop 4638  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160  2c2 12325  3c3 12326  4c4 12327  5c5 12328  ℕ₀cn0 12530  ...cfz 13550  ⟨“cs7 14888   NeighbVtx cnbgr 29372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-oadd 8515  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-dju 9945  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-hash 14373  df-word 14556  df-concat 14612  df-s1 14637  df-s2 14890  df-s3 14891  df-s4 14892  df-s5 14893  df-s6 14894  df-s7 14895  df-vtx 29038  df-iedg 29039  df-edg 29088  df-upgr 29122  df-umgr 29123  df-usgr 29191  df-nbgr 29373

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47945