Theorem usgrexmpl2nb1 49335

Description: The neighborhood of the second vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb1	⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eltp012 12440	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
2	1	orci 879	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
3		elun 4155	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
4	2, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
5		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
6		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
8	5, 6, 7	usgrexmpl2nblem 49333	. . 3 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
10		c0ex 11327	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
11	10	tpid1 4729	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 879	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4155	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15		2ex 12447	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
16	15	tpid3 4734	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
17	16	orci 879	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
18		elun 4155	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
19	17, 18	mpbir 234	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
20		prssi 4780	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
21		1re 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		vex 3458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
23	21, 22	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
24		3ex 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ V
25	15, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
26	23, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
27		1ne2 12580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
28		1lt3 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
29	21, 28	ltneii 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 3
30	27, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
31	30	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
32		prneimg 4812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {2, 3}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {2, 3}
34	33	neii 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {2, 3}
35	34	biorfri 953	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
36	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
37		elex 3475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
38	36, 37	preq2b 4805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0))
39	10, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0)
40		prcom 4693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
41	40	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
42	39, 41	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
43	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
44		elex 3475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 2 ∈ V)
45	43, 44	preq2b 4805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 2} ↔ 𝑛 = 2))
46	45	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ V → (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2}))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2})
48	42, 47	orbi12i 928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}))
49		df-3or 1104	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
50	35, 48, 49	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
51		4nn0 12652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
52	24, 51	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
53	23, 52	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
54		1lt4 12548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 4
55	21, 54	ltneii 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 4
56	29, 55	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
57	56	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
58		prneimg 4812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {1, 𝑛} ≠ {3, 4}))
59	53, 57, 58	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {3, 4}
60	59	neii 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {3, 4}
61		5nn0 12653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
62	51, 61	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
63	23, 62	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
64		1lt5 12552	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 5
65	21, 64	ltneii 11450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 5
66	55, 65	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
67	66	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
68		prneimg 4812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {4, 5}))
69	63, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {4, 5}
70	69	neii 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {4, 5}
71	10, 61	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
72	23, 71	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
73		ax-1ne0 11296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
74	73, 65	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
75	74	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
76		prneimg 4812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 5}))
77	72, 75, 76	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 5}
78	77	neii 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 5}
79	60, 70, 78	3pm3.2ni 1519	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})
80	79	biorfri 953	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))
81	10, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
82	23, 81	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
83	73, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
84	83	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 3}
87	86	neii 2961	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 3}
88	87	biorfi 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
89	50, 80, 88	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
90	22	elpr 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2))
91		prex 5400	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 𝑛} ∈ V
92		el7g 4651	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ V → ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))))
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
94	89, 90, 93	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
95	94	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
96	20, 95	eqrrabd 4014	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
97	96	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2})
98	14, 19, 97	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2}
99	9, 98	eqtri 2786	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4838  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  5c5 12427  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  ⟨“cs7 15025   NeighbVtx cnbgr 29943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029  df-s5 15030  df-s6 15031  df-s7 15032  df-vtx 29606  df-iedg 29607  df-edg 29656  df-upgr 29690  df-umgr 29691  df-usgr 29762  df-nbgr 29944

This theorem is used by:  usgrexmpl2trifr  49340