Theorem usgrexmpl2nb1 48830

Description: The neighborhood of the second vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb1	⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eltp012 12329	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
2	1	orci 879	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
3		elun 4110	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
4	2, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
5		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
6		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
8	5, 6, 7	usgrexmpl2nblem 48828	. . 3 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
10		c0ex 11218	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
11	10	tpid1 4739	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 879	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4110	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15		2ex 12336	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
16	15	tpid3 4744	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
17	16	orci 879	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
18		elun 4110	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
19	17, 18	mpbir 234	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
20		prssi 4792	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
21		1re 11226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
23	21, 22	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
24		3ex 12341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ V
25	15, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
26	23, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
27		1ne2 12469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
28		1lt3 12434	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
29	21, 28	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 3
30	27, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
31	30	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
32		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {2, 3}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {2, 3}
34	33	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {2, 3}
35	34	biorfri 953	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
36	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
37		elex 3479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
38	36, 37	preq2b 4817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0))
39	10, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0)
40		prcom 4703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
41	40	eqeq2i 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
42	39, 41	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
43	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
44		elex 3479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 2 ∈ V)
45	43, 44	preq2b 4817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 2} ↔ 𝑛 = 2))
46	45	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ V → (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2}))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2})
48	42, 47	orbi12i 928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}))
49		df-3or 1104	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
50	35, 48, 49	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
51		4nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
52	24, 51	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
53	23, 52	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
54		1lt4 12437	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 4
55	21, 54	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 4
56	29, 55	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
57	56	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
58		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {1, 𝑛} ≠ {3, 4}))
59	53, 57, 58	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {3, 4}
60	59	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {3, 4}
61		5nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
62	51, 61	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
63	23, 62	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
64		1lt5 12441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 5
65	21, 64	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 5
66	55, 65	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
67	66	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
68		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {4, 5}))
69	63, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {4, 5}
70	69	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {4, 5}
71	10, 61	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
72	23, 71	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
73		ax-1ne0 11187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
74	73, 65	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
75	74	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
76		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 5}))
77	72, 75, 76	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 5}
78	77	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 5}
79	60, 70, 78	3pm3.2ni 1519	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})
80	79	biorfri 953	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))
81	10, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
82	23, 81	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
83	73, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
84	83	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 3}
87	86	neii 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 3}
88	87	biorfi 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
89	50, 80, 88	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
90	22	elpr 4619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2))
91		prex 5414	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 𝑛} ∈ V
92		el7g 4661	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ V → ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))))
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
94	89, 90, 93	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
95	94	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
96	20, 95	eqrrabd 4043	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
97	96	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2})
98	14, 19, 97	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2}
99	9, 98	eqtri 2789	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ⟨“cs7 14909   NeighbVtx cnbgr 29712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-s4 14913  df-s5 14914  df-s6 14915  df-s7 14916  df-vtx 29378  df-iedg 29379  df-edg 29428  df-upgr 29462  df-umgr 29463  df-usgr 29531  df-nbgr 29713

This theorem is used by:  usgrexmpl2trifr  48835