Theorem usgrexmpl2nb1 48764

Description: The neighborhood of the second vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb1	⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1eltp012 12310	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
2	1	orci 878	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
3		elun 4106	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
4	2, 3	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
5		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
6		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
7		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
8	5, 6, 7	usgrexmpl2nblem 48762	. . 3 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
9	4, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
10		c0ex 11199	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
11	10	tpid1 4733	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 878	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4106	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15		2ex 12317	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
16	15	tpid3 4738	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
17	16	orci 878	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
18		elun 4106	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
19	17, 18	mpbir 234	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
20		prssi 4786	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
21		1re 11207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
23	21, 22	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
24		3ex 12322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ V
25	15, 24	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
26	23, 25	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
27		1ne2 12450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 2
28		1lt3 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
29	21, 28	ltneii 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 3
30	27, 29	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
31	30	orci 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
32		prneimg 4818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {2, 3}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {2, 3}
34	33	neii 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {2, 3}
35	34	biorfri 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
36	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
37		elex 3474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
38	36, 37	preq2b 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0))
39	10, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0)
40		prcom 4697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 0} = {0, 1}
41	40	eqeq2i 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
42	39, 41	bitr3i 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
43	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
44		elex 3474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V → 2 ∈ V)
45	43, 44	preq2b 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 2} ↔ 𝑛 = 2))
46	45	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ V → (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2}))
47	15, 46	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2})
48	42, 47	orbi12i 927	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}))
49		df-3or 1102	. . . . . . . . 9 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
50	35, 48, 49	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
51		4nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
52	24, 51	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
53	23, 52	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
54		1lt4 12418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 4
55	21, 54	ltneii 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 4
56	29, 55	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
57	56	orci 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
58		prneimg 4818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {1, 𝑛} ≠ {3, 4}))
59	53, 57, 58	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {3, 4}
60	59	neii 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {3, 4}
61		5nn0 12523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
62	51, 61	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
63	23, 62	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
64		1lt5 12422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 5
65	21, 64	ltneii 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 5
66	55, 65	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
67	66	orci 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
68		prneimg 4818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {4, 5}))
69	63, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {4, 5}
70	69	neii 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {4, 5}
71	10, 61	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
72	23, 71	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
73		ax-1ne0 11168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
74	73, 65	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
75	74	orci 878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
76		prneimg 4818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 5}))
77	72, 75, 76	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 5}
78	77	neii 2958	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 5}
79	60, 70, 78	3pm3.2ni 1517	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})
80	79	biorfri 952	. . . . . . . 8 ⊢ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))
81	10, 24	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
82	23, 81	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
83	73, 29	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
84	83	orci 878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 𝑛} ≠ {0, 3}
87	86	neii 2958	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {1, 𝑛} = {0, 3}
88	87	biorfi 951	. . . . . . . 8 ⊢ ((({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
89	50, 80, 88	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
90	22	elpr 4613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2))
91		prex 5409	. . . . . . . 8 ⊢ {1, 𝑛} ∈ V
92		el7g 4655	. . . . . . . 8 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ V → ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))))
93	91, 92	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
94	89, 90, 93	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
95	94	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
96	20, 95	eqrrabd 4039	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
97	96	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2})
98	14, 19, 97	mp2an 704	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2}
99	9, 98	eqtri 2784	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1100   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3414  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  {csn 4588  {cpr 4590  {ctp 4592  ⟨cop 4594  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100  2c2 12294  3c3 12295  4c4 12296  5c5 12297  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ⟨“cs7 14883   NeighbVtx cnbgr 29648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-hash 14367  df-word 14551  df-concat 14608  df-s1 14634  df-s2 14885  df-s3 14886  df-s4 14887  df-s5 14888  df-s6 14889  df-s7 14890  df-vtx 29314  df-iedg 29315  df-edg 29364  df-upgr 29398  df-umgr 29399  df-usgr 29467  df-nbgr 29649

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48769