Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrexmpl2nb1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpl2nb1 47847
Description: The neighborhood of the second vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl2.v 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
usgrexmpl2nb1 (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 11286 . . . . . 6 1 ∈ V
21tpid2 4795 . . . . 5 1 ∈ {0, 1, 2}
32orci 864 . . . 4 (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
4 elun 4176 . . . 4 (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
53, 4mpbir 231 . . 3 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6 usgrexmpl2.v . . . 4 𝑉 = (0...5)
7 usgrexmpl2.e . . . 4 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8 usgrexmpl2.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
96, 7, 8usgrexmpl2nblem 47845 . . 3 (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
105, 9ax-mp 5 . 2 (𝐺 NeighbVtx 1) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11 c0ex 11284 . . . . . 6 0 ∈ V
1211tpid1 4793 . . . . 5 0 ∈ {0, 1, 2}
1312orci 864 . . . 4 (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
14 elun 4176 . . . 4 (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
1513, 14mpbir 231 . . 3 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16 2ex 12370 . . . . . 6 2 ∈ V
1716tpid3 4798 . . . . 5 2 ∈ {0, 1, 2}
1817orci 864 . . . 4 (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
19 elun 4176 . . . 4 (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
2018, 19mpbir 231 . . 3 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21 prssi 4846 . . . . 5 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
22 1re 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
23 vex 3492 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 ∈ V
2422, 23pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
25 3ex 12375 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ V
2616, 25pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
2724, 26pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
28 1ne2 12501 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 2
29 1lt3 12466 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3022, 29ltneii 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 3
3128, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3)
3231orci 864 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
33 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {2, 3}))
3427, 32, 33mp2 9 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑛} ≠ {2, 3}
3534neii 2948 . . . . . . . . . 10 ¬ {1, 𝑛} = {2, 3}
3635biorfri 938 . . . . . . . . 9 (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
3723a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
38 elex 3509 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ V → 0 ∈ V)
3937, 38preq2b 4872 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0))
4011, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ 𝑛 = 0)
41 prcom 4757 . . . . . . . . . . . 12 {1, 0} = {0, 1}
4241eqeq2i 2753 . . . . . . . . . . 11 ({1, 𝑛} = {1, 0} ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
4340, 42bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 ↔ {1, 𝑛} = {0, 1})
4423a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
45 elex 3509 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ V → 2 ∈ V)
4644, 45preq2b 4872 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ V → ({1, 𝑛} = {1, 2} ↔ 𝑛 = 2))
4746bicomd 223 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ V → (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2}))
4816, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 2 ↔ {1, 𝑛} = {1, 2})
4943, 48orbi12i 913 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}))
50 df-3or 1088 . . . . . . . . 9 (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2}) ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
5136, 49, 503bitr4i 303 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}))
52 4nn0 12572 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℕ0
5325, 52pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
5424, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
55 1lt4 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 4
5622, 55ltneii 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 4
5730, 56pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4)
5857orci 864 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
59 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 3 ∧ 1 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {1, 𝑛} ≠ {3, 4}))
6054, 58, 59mp2 9 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑛} ≠ {3, 4}
6160neii 2948 . . . . . . . . . 10 ¬ {1, 𝑛} = {3, 4}
62 5nn0 12573 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ0
6352, 62pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
6424, 63pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
65 1lt5 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 5
6622, 65ltneii 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 5
6756, 66pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5)
6867orci 864 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
69 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 4 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {4, 5}))
7064, 68, 69mp2 9 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑛} ≠ {4, 5}
7170neii 2948 . . . . . . . . . 10 ¬ {1, 𝑛} = {4, 5}
7211, 62pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
7324, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
74 ax-1ne0 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
7574, 66pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5)
7675orci 864 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
77 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 5}))
7873, 76, 77mp2 9 . . . . . . . . . . 11 {1, 𝑛} ≠ {0, 5}
7978neii 2948 . . . . . . . . . 10 ¬ {1, 𝑛} = {0, 5}
8061, 71, 793pm3.2ni 1487 . . . . . . . . 9 ¬ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})
8180biorfri 938 . . . . . . . 8 (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))
8211, 25pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
8324, 82pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
8474, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3)
8584orci 864 . . . . . . . . . . 11 ((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
86 prneimg 4879 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((1 ≠ 0 ∧ 1 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {1, 𝑛} ≠ {0, 3}))
8783, 85, 86mp2 9 . . . . . . . . . 10 {1, 𝑛} ≠ {0, 3}
8887neii 2948 . . . . . . . . 9 ¬ {1, 𝑛} = {0, 3}
8988biorfi 937 . . . . . . . 8 ((({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
9051, 81, 893bitri 297 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
9123elpr 4672 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 2))
92 prex 5452 . . . . . . . 8 {1, 𝑛} ∈ V
93 el7g 4713 . . . . . . . 8 ({1, 𝑛} ∈ V → ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5})))))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . 7 ({1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({1, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({1, 𝑛} = {0, 1} ∨ {1, 𝑛} = {1, 2} ∨ {1, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({1, 𝑛} = {3, 4} ∨ {1, 𝑛} = {4, 5} ∨ {1, 𝑛} = {0, 5}))))
9590, 91, 943bitr4i 303 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
9695a1i 11 . . . . 5 (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 2} ↔ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
9721, 96eqrrabd 4109 . . . 4 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 2} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
9897eqcomd 2746 . . 3 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2})
9915, 20, 98mp2an 691 . 2 {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {1, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 2}
10010, 99eqtri 2768 1 (𝐺 NeighbVtx 1) = {0, 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 846  w3o 1086   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488  cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  cop 4654  (class class class)co 7448  cr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  0cn0 12553  ...cfz 13567  ⟨“cs7 14895   NeighbVtx cnbgr 29367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-s4 14899  df-s5 14900  df-s6 14901  df-s7 14902  df-vtx 29033  df-iedg 29034  df-edg 29083  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-usgr 29186  df-nbgr 29368
This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47852
  Copyright terms: Public domain W3C validator