Theorem usgrexmpl2nb2 49224

Description: The neighborhood of the third vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb2	⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ex 12423	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
2	1	tpid3 4730	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 879	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4152	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 234	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 49221	. . 3 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1eltp012 12416	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 879	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4152	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15		3ex 12428	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
16	15	tpid1 4725	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
17	16	olci 880	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
18		elun 4152	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
19	17, 18	mpbir 234	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
20		prssi 4776	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
21		vex 3454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
22	1, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
23		c0ex 11303	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
26	22, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
27		2ne0 12452	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28		1ne2 12556	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
29	28	necomi 3009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 1
30	27, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
31	30	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
32		prneimg 4808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 1}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 1}
34	33	neii 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 1}
35	34	biorfi 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
36		prcom 4689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {2, 1}
37	36	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {1, 2} ↔ {2, 𝑛} = {2, 1})
38	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
39		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
40	38, 39	preq2b 4801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1))
41	24, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1)
42	37, 41	bitr2i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 ↔ {2, 𝑛} = {1, 2})
43		3nn0 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
45		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
46	44, 45	preq2b 4801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ({2, 𝑛} = {2, 3} ↔ 𝑛 = 3))
47	46	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3}))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3})
49	42, 48	orbi12i 928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
50		3orass 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
51	35, 49, 50	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
52		2re 12420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
53	52, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
54		4nn0 12628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
55	15, 54	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
56	53, 55	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
57		2lt3 12519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
58	52, 57	ltneii 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 3
59		2lt4 12523	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
60	52, 59	ltneii 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 4
61	58, 60	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)
62	61	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
63		prneimg 4808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {2, 𝑛} ≠ {3, 4}))
64	56, 62, 63	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {3, 4}
65	64	neii 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {3, 4}
66		5nn0 12629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
67	54, 66	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
68	53, 67	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
69		2lt5 12527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 5
70	52, 69	ltneii 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 5
71	60, 70	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)
72	71	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
73		prneimg 4808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {4, 5}))
74	68, 72, 73	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {4, 5}
75	74	neii 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {4, 5}
76	23, 66	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
77	53, 76	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
78	27, 70	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)
79	78	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
80		prneimg 4808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 5}))
81	77, 79, 80	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 5}
82	81	neii 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 5}
83	65, 75, 82	3pm3.2ni 1518	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})
84	83	biorfri 953	. . . . . . . 8 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))
85	23, 15	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
86	53, 85	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
87	27, 58	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
88	87	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
89		prneimg 4808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 3}))
90	86, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 3}
91	90	neii 2957	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 3}
92	91	biorfi 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
93	51, 84, 92	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
94	21	elpr 4605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3))
95		prex 5395	. . . . . . . 8 ⊢ {2, 𝑛} ∈ V
96		el7g 4647	. . . . . . . 8 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ V → ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
98	93, 94, 97	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
99	98	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
100	20, 99	eqrrabd 4011	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
101	100	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3})
102	14, 19, 101	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3}
103	10, 102	eqtri 2783	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834  (class class class)co 7420  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  5c5 12403  ℕ₀cn0 12609  ...cfz 13642  ⟨“cs7 15001   NeighbVtx cnbgr 29918

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-s3 15004  df-s4 15005  df-s5 15006  df-s6 15007  df-s7 15008  df-vtx 29581  df-iedg 29582  df-edg 29631  df-upgr 29665  df-umgr 29666  df-usgr 29737  df-nbgr 29919

This theorem is used by:  usgrexmpl2trifr  49228