Theorem usgrexmpl2nb2 48831

Description: The neighborhood of the third vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb2	⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ex 12336	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
2	1	tpid3 4744	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 879	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4110	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 234	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 48828	. . 3 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1eltp012 12329	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
12	11	orci 879	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
13		elun 4110	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
14	12, 13	mpbir 234	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
15		3ex 12341	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
16	15	tpid1 4739	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
17	16	olci 880	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
18		elun 4110	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
19	17, 18	mpbir 234	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
20		prssi 4792	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
21		vex 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
22	1, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
23		c0ex 11218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
24		1ex 11221	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ V
25	23, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
26	22, 25	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
27		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28		1ne2 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
29	28	necomi 3015	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 1
30	27, 29	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
31	30	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
32		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 1}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 1}
34	33	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 1}
35	34	biorfi 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
36		prcom 4703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {2, 1}
37	36	eqeq2i 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {1, 2} ↔ {2, 𝑛} = {2, 1})
38	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
39		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
40	38, 39	preq2b 4817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1))
41	24, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1)
42	37, 41	bitr2i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 ↔ {2, 𝑛} = {1, 2})
43		3nn0 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
45		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
46	44, 45	preq2b 4817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ({2, 𝑛} = {2, 3} ↔ 𝑛 = 3))
47	46	bicomd 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3}))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3})
49	42, 48	orbi12i 928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
50		3orass 1106	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
51	35, 49, 50	3bitr4i 306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
52		2re 12333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
53	52, 21	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
54		4nn0 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
55	15, 54	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
56	53, 55	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
57		2lt3 12432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
58	52, 57	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 3
59		2lt4 12436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
60	52, 59	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 4
61	58, 60	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)
62	61	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
63		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {2, 𝑛} ≠ {3, 4}))
64	56, 62, 63	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {3, 4}
65	64	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {3, 4}
66		5nn0 12542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
67	54, 66	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
68	53, 67	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
69		2lt5 12440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 5
70	52, 69	ltneii 11341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 5
71	60, 70	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)
72	71	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
73		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {4, 5}))
74	68, 72, 73	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {4, 5}
75	74	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {4, 5}
76	23, 66	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
77	53, 76	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
78	27, 70	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)
79	78	orci 879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
80		prneimg 4824	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 5}))
81	77, 79, 80	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 5}
82	81	neii 2963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 5}
83	65, 75, 82	3pm3.2ni 1519	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})
84	83	biorfri 953	. . . . . . . 8 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))
85	23, 15	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
86	53, 85	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
87	27, 58	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
88	87	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
89		prneimg 4824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 3}))
90	86, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 3}
91	90	neii 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 3}
92	91	biorfi 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
93	51, 84, 92	3bitri 300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
94	21	elpr 4619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3))
95		prex 5414	. . . . . . . 8 ⊢ {2, 𝑛} ∈ V
96		el7g 4661	. . . . . . . 8 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ V → ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
98	93, 94, 97	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
99	98	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
100	20, 99	eqrrabd 4043	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
101	100	eqcomd 2772	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3})
102	14, 19, 101	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3}
103	10, 102	eqtri 2789	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419  Vcvv 3458   ∪ cun 3906  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  3c3 12314  4c4 12315  5c5 12316  ℕ₀cn0 12522  ...cfz 13553  ⟨“cs7 14909   NeighbVtx cnbgr 29712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-s2 14911  df-s3 14912  df-s4 14913  df-s5 14914  df-s6 14915  df-s7 14916  df-vtx 29378  df-iedg 29379  df-edg 29428  df-upgr 29462  df-umgr 29463  df-usgr 29531  df-nbgr 29713

This theorem is used by:  usgrexmpl2trifr  48835