Theorem usgrexmpl2nb2 48315

Description: The neighborhood of the third vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb2	⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ex 12226	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
2	1	tpid3 4731	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 866	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4106	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 48312	. . 3 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1ex 11132	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12	11	tpid2 4728	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 866	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4106	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16		3ex 12231	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
17	16	tpid1 4726	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
18	17	olci 867	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
19		elun 4106	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
20	18, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21		prssi 4778	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
22		vex 3445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
23	1, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
24		c0ex 11130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
25	24, 11	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
26	23, 25	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
27		2ne0 12253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28		1ne2 12352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
29	28	necomi 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 1
30	27, 29	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
31	30	orci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
32		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 1}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 1}
34	33	neii 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 1}
35	34	biorfi 939	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
36		prcom 4690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {2, 1}
37	36	eqeq2i 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {1, 2} ↔ {2, 𝑛} = {2, 1})
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
39		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
40	38, 39	preq2b 4804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1))
41	11, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1)
42	37, 41	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 ↔ {2, 𝑛} = {1, 2})
43		3nn0 12423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
46	44, 45	preq2b 4804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ({2, 𝑛} = {2, 3} ↔ 𝑛 = 3))
47	46	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3}))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3})
49	42, 48	orbi12i 915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
50		3orass 1090	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
51	35, 49, 50	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
52		2re 12223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
53	52, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
54		4nn0 12424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
55	16, 54	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
56	53, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
57		2lt3 12316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
58	52, 57	ltneii 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 3
59		2lt4 12319	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
60	52, 59	ltneii 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 4
61	58, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)
62	61	orci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
63		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {2, 𝑛} ≠ {3, 4}))
64	56, 62, 63	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {3, 4}
65	64	neii 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {3, 4}
66		5nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
67	54, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
68	53, 67	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
69		2lt5 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 5
70	52, 69	ltneii 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 5
71	60, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)
72	71	orci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
73		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {4, 5}))
74	68, 72, 73	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {4, 5}
75	74	neii 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {4, 5}
76	24, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
77	53, 76	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
78	27, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)
79	78	orci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
80		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 5}))
81	77, 79, 80	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 5}
82	81	neii 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 5}
83	65, 75, 82	3pm3.2ni 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})
84	83	biorfri 940	. . . . . . . 8 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))
85	24, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
86	53, 85	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
87	27, 58	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
88	87	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
89		prneimg 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 3}))
90	86, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 3}
91	90	neii 2935	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 3}
92	91	biorfi 939	. . . . . . . 8 ⊢ ((({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
93	51, 84, 92	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
94	22	elpr 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3))
95		prex 5383	. . . . . . . 8 ⊢ {2, 𝑛} ∈ V
96		el7g 4648	. . . . . . . 8 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ V → ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
98	93, 94, 97	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
99	98	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
100	21, 99	eqrrabd 4039	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
101	100	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3})
102	15, 20, 101	mp2an 693	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3}
103	10, 102	eqtri 2760	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  Vcvv 3441   ∪ cun 3900  {csn 4581  {cpr 4583  {ctp 4585  ⟨cop 4587  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  2c2 12204  3c3 12205  4c4 12206  5c5 12207  ℕ₀cn0 12405  ...cfz 13427  ⟨“cs7 14773   NeighbVtx cnbgr 29388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-concat 14498  df-s1 14524  df-s2 14775  df-s3 14776  df-s4 14777  df-s5 14778  df-s6 14779  df-s7 14780  df-vtx 29054  df-iedg 29055  df-edg 29104  df-upgr 29138  df-umgr 29139  df-usgr 29207  df-nbgr 29389

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48319