Theorem usgrexmpl2nb2 47768

Description: The neighborhood of the third vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb2	⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ex 12366	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ V
2	1	tpid3 4798	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 864	. . . 4 ⊢ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4170	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (2 ∈ {0, 1, 2} ∨ 2 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ 2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 47765	. . 3 ⊢ (2 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1ex 11282	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12	11	tpid2 4795	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 864	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4170	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16		3ex 12371	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
17	16	tpid1 4793	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
18	17	olci 865	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
19		elun 4170	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
20	18, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21		prssi 4846	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
22		vex 3486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑛 ∈ V
23	1, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
24		c0ex 11280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ V
25	24, 11	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
26	23, 25	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V))
27		2ne0 12393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
28		1ne2 12497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≠ 2
29	28	necomi 2997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 1
30	27, 29	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1)
31	30	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
32		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 1}))
33	26, 31, 32	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 1}
34	33	neii 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 1}
35	34	biorfi 937	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
36		prcom 4757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {1, 2} = {2, 1}
37	36	eqeq2i 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {1, 2} ↔ {2, 𝑛} = {2, 1})
38	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
39		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
40	38, 39	preq2b 4872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1))
41	11, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({2, 𝑛} = {2, 1} ↔ 𝑛 = 1)
42	37, 41	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 ↔ {2, 𝑛} = {1, 2})
43		3nn0 12567	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
44	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
45		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
46	44, 45	preq2b 4872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → ({2, 𝑛} = {2, 3} ↔ 𝑛 = 3))
47	46	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3}))
48	43, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 3 ↔ {2, 𝑛} = {2, 3})
49	42, 48	orbi12i 913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
50		3orass 1090	. . . . . . . . 9 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ ({2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3})))
51	35, 49, 50	3bitr4i 303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}))
52		2re 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
53	52, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
54		4nn0 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℕ0
55	16, 54	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
56	53, 55	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
57		2lt3 12461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 3
58	52, 57	ltneii 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 3
59		2lt4 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
60	52, 59	ltneii 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 4
61	58, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4)
62	61	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
63		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {2, 𝑛} ≠ {3, 4}))
64	56, 62, 63	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {3, 4}
65	64	neii 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {3, 4}
66		5nn0 12569	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 ∈ ℕ0
67	54, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
68	53, 67	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
69		2lt5 12468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 5
70	52, 69	ltneii 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 5
71	60, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5)
72	71	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
73		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 4 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {4, 5}))
74	68, 72, 73	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {4, 5}
75	74	neii 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {4, 5}
76	24, 66	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)
77	53, 76	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0))
78	27, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5)
79	78	orci 864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5))
80		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 5}))
81	77, 79, 80	mp2 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 5}
82	81	neii 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 5}
83	65, 75, 82	3pm3.2ni 1487	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})
84	83	biorfri 938	. . . . . . . 8 ⊢ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ↔ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))
85	24, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
86	53, 85	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
87	27, 58	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3)
88	87	orci 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
89		prneimg 4879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {2, 𝑛} ≠ {0, 3}))
90	86, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {2, 𝑛} ≠ {0, 3}
91	90	neii 2944	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {2, 𝑛} = {0, 3}
92	91	biorfi 937	. . . . . . . 8 ⊢ ((({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
93	51, 84, 92	3bitri 297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
94	22	elpr 4672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3))
95		prex 5455	. . . . . . . 8 ⊢ {2, 𝑛} ∈ V
96		el7g 4713	. . . . . . . 8 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ V → ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5})))))
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({2, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({2, 𝑛} = {0, 1} ∨ {2, 𝑛} = {1, 2} ∨ {2, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({2, 𝑛} = {3, 4} ∨ {2, 𝑛} = {4, 5} ∨ {2, 𝑛} = {0, 5}))))
98	93, 94, 97	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
99	98	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3} ↔ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
100	21, 99	eqrrabd 4103	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
101	100	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3})
102	15, 20, 101	mp2an 691	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {2, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {1, 3}
103	10, 102	eqtri 2762	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 2) = {1, 3}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  {crab 3438  Vcvv 3482   ∪ cun 3968  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  (class class class)co 7445  ℝcr 11179  0cc0 11180  1c1 11181  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  ℕ₀cn0 12549  ...cfz 13563  ⟨“cs7 14891   NeighbVtx cnbgr 29358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898  df-vtx 29024  df-iedg 29025  df-edg 29074  df-upgr 29108  df-umgr 29109  df-usgr 29177  df-nbgr 29359

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47772