Theorem usgrexmpl2nb0 48601

Description: The neighborhood of the first vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb0	⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {1, 3, 5}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb0

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11163	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4721	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 874	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4101	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 233	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 48600	. . 3 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1ex 11166	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12	11	tpid2 4723	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 874	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4101	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 233	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16		3ex 12290	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
17	16	tpid1 4721	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
18	17	olci 875	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
19		elun 4101	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
20	18, 19	mpbir 233	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21		5nn0 12491	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21	elexi 3470	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
23	22	tpid3 4726	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
24	23	olci 875	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
25		elun 4101	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
26	24, 25	mpbir 233	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
27		tpssi 4790	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3, 5} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
28		3orcoma 1101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
29		3orass 1098	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
30	28, 29	bitr3i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
31		vex 3452	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ∈ V
32	31	eltp 4642	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
33		prex 5389	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 𝑛} ∈ V
34		el7g 4643	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ V → ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})))))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))))
36	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
37		elex 3469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ V → 3 ∈ V)
38	36, 37	preq2b 4799	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ V → ({0, 𝑛} = {0, 3} ↔ 𝑛 = 3))
39	16, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 3} ↔ 𝑛 = 3)
40		3orrot 1100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}))
41	1, 31	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
42		2ex 12285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ V
43	11, 42	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
44	41, 43	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
45		0ne1 12279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≠ 1
46		0ne2 12417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≠ 2
47	45, 46	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
48	47	orci 874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
49		prneimg 4806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {0, 𝑛} ≠ {1, 2}))
50	44, 48, 49	mp2 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {1, 2}
51	50	neii 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {1, 2}
52		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ¬ {0, 𝑛} = {1, 2})
53	42, 16	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
54	41, 53	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
55		0re 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
56		3pos 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
57	55, 56	ltneii 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≠ 3
58	46, 57	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3)
59	58	orci 874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
60		prneimg 4806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {0, 𝑛} ≠ {2, 3}))
61	54, 59, 60	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {2, 3}
62	61	neii 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {2, 3}
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ¬ {0, 𝑛} = {2, 3})
64	52, 63	3bior2fd 1492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1})))
65	51, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}))
66	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
67		elex 3469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
68	66, 67	preq2b 4799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ 𝑛 = 1))
69	11, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ 𝑛 = 1)
70	65, 69	bitr3i 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}) ↔ 𝑛 = 1)
71	40, 70	bitri 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ↔ 𝑛 = 1)
72		4nn0 12490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
73	16, 72	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
74	41, 73	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
75		4pos 12318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 4
76	55, 75	ltneii 11286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≠ 4
77	57, 76	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4)
78	77	orci 874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
79		prneimg 4806	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {0, 𝑛} ≠ {3, 4}))
80	74, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {3, 4}
81	80	neii 2953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {3, 4}
82		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ¬ {0, 𝑛} = {3, 4})
83	72, 21	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
84	41, 83	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
85		5pos 12320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 5
86	55, 85	ltneii 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 5
87	76, 86	pm3.2i 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5)
88	87	orci 874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
89		prneimg 4806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {0, 𝑛} ≠ {4, 5}))
90	84, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {4, 5}
91	90	neii 2953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {4, 5}
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ¬ {0, 𝑛} = {4, 5})
93	82, 92	3bior2fd 1492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})))
94	81, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))
95	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
96		elex 3469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → 5 ∈ V)
97	95, 96	preq2b 4799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ 𝑛 = 5))
98	21, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ 𝑛 = 5)
99	94, 98	bitr3i 279	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}) ↔ 𝑛 = 5)
100	71, 99	orbi12i 923	. . . . . . . 8 ⊢ ((({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})) ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5))
101	39, 100	orbi12i 923	. . . . . . 7 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
102	35, 101	bitri 277	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
103	30, 32, 102	3bitr4i 305	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
104	103	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
105	27, 104	eqrrabd 4034	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
106	15, 20, 26, 105	mp3an 1476	. 2 ⊢ {1, 3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
107	10, 106	eqtr4i 2782	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {1, 3, 5}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∨ w3o 1094   ∧ w3a 1095   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951  {crab 3408  Vcvv 3448   ∪ cun 3897  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580  ⟨cop 4582  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  5c5 12265  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13502  ⟨“cs7 14849   NeighbVtx cnbgr 29472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-dju 9849  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-concat 14574  df-s1 14600  df-s2 14851  df-s3 14852  df-s4 14853  df-s5 14854  df-s6 14855  df-s7 14856  df-vtx 29138  df-iedg 29139  df-edg 29188  df-upgr 29222  df-umgr 29223  df-usgr 29291  df-nbgr 29473

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48607