Theorem usgrexmpl2nb0 47936

Description: The neighborhood of the first vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 9-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb0	⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {1, 3, 5}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb0

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11238	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
2	1	tpid1 4750	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
3	2	orci 865	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
4		elun 4135	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
5	3, 4	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
6		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
7		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
8		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
9	6, 7, 8	usgrexmpl2nblem 47935	. . 3 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
10	5, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
11		1ex 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ V
12	11	tpid2 4752	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ {0, 1, 2}
13	12	orci 865	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5})
14		elun 4135	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (1 ∈ {0, 1, 2} ∨ 1 ∈ {3, 4, 5}))
15	13, 14	mpbir 231	. . 3 ⊢ 1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
16		3ex 12331	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ V
17	16	tpid1 4750	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ {3, 4, 5}
18	17	olci 866	. . . 4 ⊢ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5})
19		elun 4135	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (3 ∈ {0, 1, 2} ∨ 3 ∈ {3, 4, 5}))
20	18, 19	mpbir 231	. . 3 ⊢ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
21		5nn0 12530	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℕ0
22	21	elexi 3487	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
23	22	tpid3 4755	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
24	23	olci 866	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
25		elun 4135	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
26	24, 25	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
27		tpssi 4820	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3, 5} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
28		3orcoma 1092	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
29		3orass 1089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
30	28, 29	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
31		vex 3468	. . . . . . 7 ⊢ 𝑛 ∈ V
32	31	eltp 4671	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 5))
33		prex 5419	. . . . . . . 8 ⊢ {0, 𝑛} ∈ V
34		el7g 4672	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ V → ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})))))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))))
36	31	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
37		elex 3485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ V → 3 ∈ V)
38	36, 37	preq2b 4829	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ V → ({0, 𝑛} = {0, 3} ↔ 𝑛 = 3))
39	16, 38	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 3} ↔ 𝑛 = 3)
40		3orrot 1091	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}))
41	1, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V)
42		2ex 12326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ V
43	11, 42	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
44	41, 43	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
45		0ne1 12320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≠ 1
46		0ne2 12456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≠ 2
47	45, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2)
48	47	orci 865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
49		prneimg 4836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)) → (((0 ≠ 1 ∧ 0 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {0, 𝑛} ≠ {1, 2}))
50	44, 48, 49	mp2 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {1, 2}
51	50	neii 2933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {1, 2}
52		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ¬ {0, 𝑛} = {1, 2})
53	42, 16	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)
54	41, 53	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V))
55		0re 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
56		3pos 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 < 3
57	55, 56	ltneii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≠ 3
58	46, 57	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3)
59	58	orci 865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
60		prneimg 4836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ V ∧ 3 ∈ V)) → (((0 ≠ 2 ∧ 0 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {0, 𝑛} ≠ {2, 3}))
61	54, 59, 60	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {2, 3}
62	61	neii 2933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {2, 3}
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ¬ {0, 𝑛} = {2, 3})
64	52, 63	3bior2fd 1478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {1, 2} → ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1})))
65	51, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ ({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}))
66	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
67		elex 3485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ V → 1 ∈ V)
68	66, 67	preq2b 4829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ V → ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ 𝑛 = 1))
69	11, 68	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 1} ↔ 𝑛 = 1)
70	65, 69	bitr3i 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3} ∨ {0, 𝑛} = {0, 1}) ↔ 𝑛 = 1)
71	40, 70	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ↔ 𝑛 = 1)
72		4nn0 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
73	16, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)
74	41, 73	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0))
75		4pos 12356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 4
76	55, 75	ltneii 11357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≠ 4
77	57, 76	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4)
78	77	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
79		prneimg 4836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 3 ∧ 0 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {0, 𝑛} ≠ {3, 4}))
80	74, 78, 79	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {3, 4}
81	80	neii 2933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {3, 4}
82		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ¬ {0, 𝑛} = {3, 4})
83	72, 21	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)
84	41, 83	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0))
85		5pos 12358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 5
86	55, 85	ltneii 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 5
87	76, 86	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5)
88	87	orci 865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5))
89		prneimg 4836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (4 ∈ ℕ0 ∧ 5 ∈ ℕ0)) → (((0 ≠ 4 ∧ 0 ≠ 5) ∨ (𝑛 ≠ 4 ∧ 𝑛 ≠ 5)) → {0, 𝑛} ≠ {4, 5}))
90	84, 88, 89	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 𝑛} ≠ {4, 5}
91	90	neii 2933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ {0, 𝑛} = {4, 5}
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ¬ {0, 𝑛} = {4, 5})
93	82, 92	3bior2fd 1478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ {0, 𝑛} = {3, 4} → ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})))
94	81, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))
95	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ V)
96		elex 3485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → 5 ∈ V)
97	95, 96	preq2b 4829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 ∈ ℕ0 → ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ 𝑛 = 5))
98	21, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, 𝑛} = {0, 5} ↔ 𝑛 = 5)
99	94, 98	bitr3i 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}) ↔ 𝑛 = 5)
100	71, 99	orbi12i 914	. . . . . . . 8 ⊢ ((({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5})) ↔ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5))
101	39, 100	orbi12i 914	. . . . . . 7 ⊢ (({0, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({0, 𝑛} = {0, 1} ∨ {0, 𝑛} = {1, 2} ∨ {0, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({0, 𝑛} = {3, 4} ∨ {0, 𝑛} = {4, 5} ∨ {0, 𝑛} = {0, 5}))) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
102	35, 101	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ({0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ (𝑛 = 3 ∨ (𝑛 = 1 ∨ 𝑛 = 5)))
103	30, 32, 102	3bitr4i 303	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
104	103	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {1, 3, 5} ↔ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
105	27, 104	eqrrabd 4068	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 3 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {1, 3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
106	15, 20, 26, 105	mp3an 1462	. 2 ⊢ {1, 3, 5} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {0, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
107	10, 106	eqtr4i 2760	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 0) = {1, 3, 5}

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  {crab 3420  Vcvv 3464   ∪ cun 3931  {csn 4608  {cpr 4610  {ctp 4612  ⟨cop 4614  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139  2c2 12304  3c3 12305  4c4 12306  5c5 12307  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13530  ⟨“cs7 14868   NeighbVtx cnbgr 29296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-tp 4613  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-4 12314  df-5 12315  df-6 12316  df-7 12317  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-concat 14592  df-s1 14617  df-s2 14870  df-s3 14871  df-s4 14872  df-s5 14873  df-s6 14874  df-s7 14875  df-vtx 28962  df-iedg 28963  df-edg 29012  df-upgr 29046  df-umgr 29047  df-usgr 29115  df-nbgr 29297

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47942