Theorem usgrexmpl2nb5 47944

Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb5	⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12357	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
2	1	elexi 3502	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
3	2	tpid3 4779	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 866	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4164	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 47938	. . 3 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		c0ex 11259	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	tpid1 4774	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
14	13	orci 865	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4164	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		4re 12354	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17	elexi 3502	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
19	18	tpid2 4776	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 866	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4164	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4827	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		3re 12350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29		3lt5 12448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 5
30	26, 29	gtneii 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 3
31		4lt5 12447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
32	17, 31	gtneii 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 4
33	30, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
34	33	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
36	28, 34, 35	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
37	36	neii 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
38	37	biorfi 938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39		orcom 870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40		prcom 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {4, 5} = {5, 4}
41	40	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
44	42, 43	preq2b 4853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
46	41, 45	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47		prcom 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 5} = {5, 0}
48	47	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
49	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
51	49, 50	preq2b 4853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
52	12, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
53	48, 52	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
54	46, 53	orbi12i 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
55	39, 54	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56		3orass 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
57	38, 55, 56	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58		0re 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1re 11265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
61	25, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62		5pos 12379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 5
63	58, 62	gtneii 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 0
64		1lt5 12450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
65	59, 64	gtneii 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 1
66	63, 65	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
67	66	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
69	61, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
70	69	neii 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71		2re 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
72	59, 71	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
73	25, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74		2lt5 12449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 5
75	71, 74	gtneii 11377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 2
76	65, 75	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
77	76	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
79	73, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
80	79	neii 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
81	71, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
82	25, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
83	75, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
84	83	orci 865	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
87	86	neii 2941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
88	70, 80, 87	3pm3.2ni 1488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
89	88	biorfi 938	. . . . . . . . 9 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
90	57, 89	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
91	58, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
92	25, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
93	63, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
94	93	orci 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95		prneimg 4860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
96	92, 94, 95	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
97	96	neii 2941	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
98	97	biorfi 938	. . . . . . . 8 ⊢ ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
99	90, 98	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
100	24	elpr 4656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101		prex 5444	. . . . . . . 8 ⊢ {5, 𝑛} ∈ V
102		el7g 4696	. . . . . . . 8 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
104	99, 100, 103	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
106	23, 105	eqrrabd 4097	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107	106	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
108	16, 22, 107	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
109	11, 108	eqtri 2764	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  {crab 3434  Vcvv 3479   ∪ cun 3962  {csn 4632  {cpr 4634  {ctp 4636  ⟨cop 4638  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  0cc0 11159  1c1 11160  2c2 12325  3c3 12326  4c4 12327  5c5 12328  ...cfz 13550  ⟨“cs7 14888   NeighbVtx cnbgr 29372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-oadd 8515  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-dju 9945  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-n0 12531  df-xnn0 12604  df-z 12618  df-uz 12883  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-hash 14373  df-word 14556  df-concat 14612  df-s1 14637  df-s2 14890  df-s3 14891  df-s4 14892  df-s5 14893  df-s6 14894  df-s7 14895  df-vtx 29038  df-iedg 29039  df-edg 29088  df-upgr 29122  df-umgr 29123  df-usgr 29191  df-nbgr 29373

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47945