Theorem usgrexmpl2nb5 48512

Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb5	⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12268	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
2	1	elexi 3452	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
3	2	tpid3 4717	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 867	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4093	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 48506	. . 3 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		c0ex 11138	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	tpid1 4712	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
14	13	orci 866	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4093	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		4re 12265	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17	elexi 3452	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
19	18	tpid2 4714	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 867	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4093	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4764	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		3re 12261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29		3lt5 12354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 5
30	26, 29	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 3
31		4lt5 12353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
32	17, 31	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 4
33	30, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
34	33	orci 866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35		prneimg 4797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
36	28, 34, 35	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
37	36	neii 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
38	37	biorfi 939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39		orcom 871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40		prcom 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {4, 5} = {5, 4}
41	40	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
44	42, 43	preq2b 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
46	41, 45	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47		prcom 4676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 5} = {5, 0}
48	47	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
49	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
51	49, 50	preq2b 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
52	12, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
53	48, 52	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
54	46, 53	orbi12i 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
55	39, 54	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56		3orass 1090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
57	38, 55, 56	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58		0re 11146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1re 11144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
61	25, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62		5pos 12290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 5
63	58, 62	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 0
64		1lt5 12356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
65	59, 64	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 1
66	63, 65	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
67	66	orci 866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68		prneimg 4797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
69	61, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
70	69	neii 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71		2re 12255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
72	59, 71	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
73	25, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74		2lt5 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 5
75	71, 74	gtneii 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 2
76	65, 75	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
77	76	orci 866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78		prneimg 4797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
79	73, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
80	79	neii 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
81	71, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
82	25, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
83	75, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
84	83	orci 866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
87	86	neii 2934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
88	70, 80, 87	3pm3.2ni 1491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
89	88	biorfi 939	. . . . . . . . 9 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
90	57, 89	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
91	58, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
92	25, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
93	63, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
94	93	orci 866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95		prneimg 4797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
96	92, 94, 95	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
97	96	neii 2934	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
98	97	biorfi 939	. . . . . . . 8 ⊢ ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
99	90, 98	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
100	24	elpr 4592	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101		prex 5380	. . . . . . . 8 ⊢ {5, 𝑛} ∈ V
102		el7g 4634	. . . . . . . 8 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
104	99, 100, 103	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
106	23, 105	eqrrabd 4026	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107	106	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
108	16, 22, 107	mp2an 693	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
109	11, 108	eqtri 2759	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  {crab 3389  Vcvv 3429   ∪ cun 3887  {csn 4567  {cpr 4569  {ctp 4571  ⟨cop 4573  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  ...cfz 13461  ⟨“cs7 14808   NeighbVtx cnbgr 29401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-s5 14813  df-s6 14814  df-s7 14815  df-vtx 29067  df-iedg 29068  df-edg 29117  df-upgr 29151  df-umgr 29152  df-usgr 29220  df-nbgr 29402

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48513