Theorem usgrexmpl2nb5 48611

Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb5	⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12300	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
2	1	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
3	2	tpid3 4731	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 877	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4106	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 233	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 48605	. . 3 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		c0ex 11168	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	tpid1 4726	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
14	13	orci 876	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4106	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 233	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		4re 12297	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
19	18	tpid2 4728	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 877	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4106	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 233	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4778	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		3re 12293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 17	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29		3lt5 12393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 5
30	26, 29	gtneii 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 3
31		4lt5 12392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
32	17, 31	gtneii 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 4
33	30, 32	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
34	33	orci 876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
36	28, 34, 35	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
37	36	neii 2958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
38	37	biorfi 949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39		orcom 881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40		prcom 4690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {4, 5} = {5, 4}
41	40	eqeq2i 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
44	42, 43	preq2b 4804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
46	41, 45	bitr2i 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47		prcom 4690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 5} = {5, 0}
48	47	eqeq2i 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
49	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
51	49, 50	preq2b 4804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
52	12, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
53	48, 52	bitr2i 278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
54	46, 53	orbi12i 925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
55	39, 54	bitri 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56		3orass 1100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
57	38, 55, 56	3bitr4i 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58		0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1re 11176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
61	25, 60	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62		5pos 12325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 5
63	58, 62	gtneii 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 0
64		1lt5 12395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
65	59, 64	gtneii 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 1
66	63, 65	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
67	66	orci 876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
69	61, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
70	69	neii 2958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71		2re 12287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
72	59, 71	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
73	25, 72	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74		2lt5 12394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 5
75	71, 74	gtneii 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 2
76	65, 75	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
77	76	orci 876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
79	73, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
80	79	neii 2958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
81	71, 26	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
82	25, 81	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
83	75, 30	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
84	83	orci 876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
87	86	neii 2958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
88	70, 80, 87	3pm3.2ni 1508	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
89	88	biorfi 949	. . . . . . . . 9 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
90	57, 89	bitri 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
91	58, 26	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
92	25, 91	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
93	63, 30	pm3.2i 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
94	93	orci 876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95		prneimg 4811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
96	92, 94, 95	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
97	96	neii 2958	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
98	97	biorfi 949	. . . . . . . 8 ⊢ ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
99	90, 98	bitri 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
100	24	elpr 4606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101		prex 5394	. . . . . . . 8 ⊢ {5, 𝑛} ∈ V
102		el7g 4648	. . . . . . . 8 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
104	99, 100, 103	3bitr4i 305	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
106	23, 105	eqrrabd 4039	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107	106	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
108	16, 22, 107	mp2an 702	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
109	11, 108	eqtri 2784	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∨ w3o 1096   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3453   ∪ cun 3902  {csn 4581  {cpr 4583  {ctp 4585  ⟨cop 4587  (class class class)co 7390  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  ...cfz 13507  ⟨“cs7 14854   NeighbVtx cnbgr 29477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12835  df-fz 13508  df-fzo 13655  df-hash 14339  df-word 14522  df-concat 14579  df-s1 14605  df-s2 14856  df-s3 14857  df-s4 14858  df-s5 14859  df-s6 14860  df-s7 14861  df-vtx 29143  df-iedg 29144  df-edg 29193  df-upgr 29227  df-umgr 29228  df-usgr 29296  df-nbgr 29478

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  48612