Theorem usgrexmpl2nb5 47851

Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb5	⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12380	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
2	1	elexi 3511	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
3	2	tpid3 4798	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 865	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4176	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 231	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 47845	. . 3 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		c0ex 11284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	tpid1 4793	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
14	13	orci 864	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4176	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 231	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		4re 12377	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17	elexi 3511	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
19	18	tpid2 4795	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 865	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4176	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 231	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4846	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		3re 12373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29		3lt5 12471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 5
30	26, 29	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 3
31		4lt5 12470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
32	17, 31	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 4
33	30, 32	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
34	33	orci 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
36	28, 34, 35	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
37	36	neii 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
38	37	biorfi 937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39		orcom 869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40		prcom 4757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {4, 5} = {5, 4}
41	40	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
44	42, 43	preq2b 4872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
46	41, 45	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47		prcom 4757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 5} = {5, 0}
48	47	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
49	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
51	49, 50	preq2b 4872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
52	12, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
53	48, 52	bitr2i 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
54	46, 53	orbi12i 913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
55	39, 54	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56		3orass 1090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
57	38, 55, 56	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
61	25, 60	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62		5pos 12402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 5
63	58, 62	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 0
64		1lt5 12473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
65	59, 64	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 1
66	63, 65	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
67	66	orci 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
69	61, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
70	69	neii 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
72	59, 71	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
73	25, 72	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74		2lt5 12472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 5
75	71, 74	gtneii 11402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 2
76	65, 75	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
77	76	orci 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
79	73, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
80	79	neii 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
81	71, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
82	25, 81	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
83	75, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
84	83	orci 864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
87	86	neii 2948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
88	70, 80, 87	3pm3.2ni 1487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
89	88	biorfi 937	. . . . . . . . 9 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
90	57, 89	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
91	58, 26	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
92	25, 91	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
93	63, 30	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
94	93	orci 864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95		prneimg 4879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
96	92, 94, 95	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
97	96	neii 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
98	97	biorfi 937	. . . . . . . 8 ⊢ ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
99	90, 98	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
100	24	elpr 4672	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101		prex 5452	. . . . . . . 8 ⊢ {5, 𝑛} ∈ V
102		el7g 4713	. . . . . . . 8 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
104	99, 100, 103	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
106	23, 105	eqrrabd 4109	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107	106	eqcomd 2746	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
108	16, 22, 107	mp2an 691	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
109	11, 108	eqtri 2768	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  {crab 3443  Vcvv 3488   ∪ cun 3974  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  ⟨cop 4654  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  ...cfz 13567  ⟨“cs7 14895   NeighbVtx cnbgr 29367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-s2 14897  df-s3 14898  df-s4 14899  df-s5 14900  df-s6 14901  df-s7 14902  df-vtx 29033  df-iedg 29034  df-edg 29083  df-upgr 29117  df-umgr 29118  df-usgr 29186  df-nbgr 29368

This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47852