Theorem usgrexmpl2nb5 48960

Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgrexmpl2.v	⊢ 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
usgrexmpl2nb5	⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 12356	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
2	1	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ V
3	2	tpid3 4737	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ {3, 4, 5}
4	3	olci 880	. . . 4 ⊢ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5		elun 4103	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
6	4, 5	mpbir 234	. . 3 ⊢ 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7		usgrexmpl2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (0...5)
8		usgrexmpl2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9		usgrexmpl2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩
10	7, 8, 9	usgrexmpl2nblem 48954	. . 3 ⊢ (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
11	6, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12		c0ex 11228	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
13	12	tpid1 4732	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ {0, 1, 2}
14	13	orci 879	. . . 4 ⊢ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15		elun 4103	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
16	14, 15	mpbir 234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17		4re 12353	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
18	17	elexi 3475	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ V
19	18	tpid2 4734	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ {3, 4, 5}
20	19	olci 880	. . . 4 ⊢ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21		elun 4103	. . . 4 ⊢ (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
22	20, 21	mpbir 234	. . 3 ⊢ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23		prssi 4785	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24		vex 3457	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑛 ∈ V
25	1, 24	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26		3re 12349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ∈ ℝ
27	26, 17	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
28	25, 27	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29		3lt5 12449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 < 5
30	26, 29	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 3
31		4lt5 12448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 < 5
32	17, 31	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 4
33	30, 32	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
34	33	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35		prneimg 4817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
36	28, 34, 35	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
37	36	neii 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
38	37	biorfi 952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39		orcom 884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40		prcom 4696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {4, 5} = {5, 4}
41	40	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
42	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
44	42, 43	preq2b 4810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
45	17, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
46	41, 45	bitr2i 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47		prcom 4696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, 5} = {5, 0}
48	47	eqeq2i 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
49	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ V → 0 ∈ V)
51	49, 50	preq2b 4810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
52	12, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
53	48, 52	bitr2i 279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
54	46, 53	orbi12i 928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
55	39, 54	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56		3orass 1106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
57	38, 55, 56	3bitr4i 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58		0re 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
59		1re 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ
60	58, 59	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
61	25, 60	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62		5pos 12381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 5
63	58, 62	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 0
64		1lt5 12451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 < 5
65	59, 64	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 1
66	63, 65	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
67	66	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68		prneimg 4817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
69	61, 67, 68	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
70	69	neii 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71		2re 12343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
72	59, 71	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
73	25, 72	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74		2lt5 12450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 < 5
75	71, 74	gtneii 11350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ≠ 2
76	65, 75	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
77	76	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78		prneimg 4817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
79	73, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
80	79	neii 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
81	71, 26	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
82	25, 81	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
83	75, 30	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
84	83	orci 879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85		prneimg 4817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
86	82, 84, 85	mp2 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
87	86	neii 2959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
88	70, 80, 87	3pm3.2ni 1519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
89	88	biorfi 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
90	57, 89	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
91	58, 26	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
92	25, 91	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
93	63, 30	pm3.2i 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
94	93	orci 879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95		prneimg 4817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
96	92, 94, 95	mp2 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
97	96	neii 2959	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
98	97	biorfi 952	. . . . . . . 8 ⊢ ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
99	90, 98	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
100	24	elpr 4612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101		prex 5407	. . . . . . . 8 ⊢ {5, 𝑛} ∈ V
102		el7g 4654	. . . . . . . 8 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
104	99, 100, 103	3bitr4i 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105	104	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
106	23, 105	eqrrabd 4037	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107	106	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
108	16, 22, 107	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
109	11, 108	eqtri 2785	1 ⊢ (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  {crab 3414  Vcvv 3453   ∪ cun 3900  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  ...cfz 13565  ⟨“cs7 14921   NeighbVtx cnbgr 29800

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-n0 12533  df-xnn0 12606  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-hash 14399  df-word 14583  df-concat 14640  df-s1 14667  df-s2 14923  df-s3 14924  df-s4 14925  df-s5 14926  df-s6 14927  df-s7 14928  df-vtx 29463  df-iedg 29464  df-edg 29513  df-upgr 29547  df-umgr 29548  df-usgr 29619  df-nbgr 29801

This theorem is used by:  usgrexmpl2trifr  48961