Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  usgrexmpl2nb5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrexmpl2nb5 47771
Description: The neighborhood of the sixth vertex of graph 𝐺. (Contributed by AV, 10-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
usgrexmpl2.v 𝑉 = (0...5)
usgrexmpl2.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
usgrexmpl2.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
usgrexmpl2nb5 (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}

Proof of Theorem usgrexmpl2nb5
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 5re 12376 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
21elexi 3506 . . . . . 6 5 ∈ V
32tpid3 4798 . . . . 5 5 ∈ {3, 4, 5}
43olci 865 . . . 4 (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5})
5 elun 4170 . . . 4 (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (5 ∈ {0, 1, 2} ∨ 5 ∈ {3, 4, 5}))
64, 5mpbir 231 . . 3 5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
7 usgrexmpl2.v . . . 4 𝑉 = (0...5)
8 usgrexmpl2.e . . . 4 𝐸 = ⟨“{0, 1} {1, 2} {2, 3} {3, 4} {4, 5} {0, 3} {0, 5}”⟩
9 usgrexmpl2.g . . . 4 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
107, 8, 9usgrexmpl2nblem 47765 . . 3 (5 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) → (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
116, 10ax-mp 5 . 2 (𝐺 NeighbVtx 5) = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))}
12 c0ex 11280 . . . . . 6 0 ∈ V
1312tpid1 4793 . . . . 5 0 ∈ {0, 1, 2}
1413orci 864 . . . 4 (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5})
15 elun 4170 . . . 4 (0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (0 ∈ {0, 1, 2} ∨ 0 ∈ {3, 4, 5}))
1614, 15mpbir 231 . . 3 0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
17 4re 12373 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
1817elexi 3506 . . . . . 6 4 ∈ V
1918tpid2 4795 . . . . 5 4 ∈ {3, 4, 5}
2019olci 865 . . . 4 (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5})
21 elun 4170 . . . 4 (4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ↔ (4 ∈ {0, 1, 2} ∨ 4 ∈ {3, 4, 5}))
2220, 21mpbir 231 . . 3 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})
23 prssi 4846 . . . . 5 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} ⊆ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}))
24 vex 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ V
251, 24pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V)
26 3re 12369 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℝ
2726, 17pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
2825, 27pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ))
29 3lt5 12467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 < 5
3026, 29gtneii 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 3
31 4lt5 12466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 < 5
3217, 31gtneii 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 4
3330, 32pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4)
3433orci 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4))
35 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 3 ∧ 5 ≠ 4) ∨ (𝑛 ≠ 3 ∧ 𝑛 ≠ 4)) → {5, 𝑛} ≠ {3, 4}))
3628, 34, 35mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 {5, 𝑛} ≠ {3, 4}
3736neii 2944 . . . . . . . . . . 11 ¬ {5, 𝑛} = {3, 4}
3837biorfi 937 . . . . . . . . . 10 (({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
39 orcom 869 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0))
40 prcom 4757 . . . . . . . . . . . . . 14 {4, 5} = {5, 4}
4140eqeq2i 2747 . . . . . . . . . . . . 13 ({5, 𝑛} = {4, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 4})
4224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 ∈ ℝ → 𝑛 ∈ V)
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (4 ∈ ℝ → 4 ∈ ℝ)
4442, 43preq2b 4872 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ ℝ → ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4))
4517, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({5, 𝑛} = {5, 4} ↔ 𝑛 = 4)
4641, 45bitr2i 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 4 ↔ {5, 𝑛} = {4, 5})
47 prcom 4757 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, 5} = {5, 0}
4847eqeq2i 2747 . . . . . . . . . . . . 13 ({5, 𝑛} = {0, 5} ↔ {5, 𝑛} = {5, 0})
4924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ V → 0 ∈ V)
5149, 50preq2b 4872 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ V → ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0))
5212, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ({5, 𝑛} = {5, 0} ↔ 𝑛 = 0)
5348, 52bitr2i 276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 ↔ {5, 𝑛} = {0, 5})
5446, 53orbi12i 913 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 4 ∨ 𝑛 = 0) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
5539, 54bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
56 3orass 1090 . . . . . . . . . 10 (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ ({5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
5738, 55, 563bitr4i 303 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))
58 0re 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
59 1re 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
6058, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
6125, 60pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
62 5pos 12398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 5
6358, 62gtneii 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 0
64 1lt5 12469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 5
6559, 64gtneii 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 1
6663, 65pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1)
6766orci 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1))
68 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 1) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 1)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 1}))
6961, 67, 68mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 {5, 𝑛} ≠ {0, 1}
7069neii 2944 . . . . . . . . . . 11 ¬ {5, 𝑛} = {0, 1}
71 2re 12363 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
7259, 71pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
7325, 72pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ))
74 2lt5 12468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 5
7571, 74gtneii 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ≠ 2
7665, 75pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2)
7776orci 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2))
78 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 1 ∧ 5 ≠ 2) ∨ (𝑛 ≠ 1 ∧ 𝑛 ≠ 2)) → {5, 𝑛} ≠ {1, 2}))
7973, 77, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 {5, 𝑛} ≠ {1, 2}
8079neii 2944 . . . . . . . . . . 11 ¬ {5, 𝑛} = {1, 2}
8171, 26pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
8225, 81pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
8375, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3)
8483orci 864 . . . . . . . . . . . . 13 ((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3))
85 prneimg 4879 . . . . . . . . . . . . 13 (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 2 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 2 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {2, 3}))
8682, 84, 85mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 {5, 𝑛} ≠ {2, 3}
8786neii 2944 . . . . . . . . . . 11 ¬ {5, 𝑛} = {2, 3}
8870, 80, 873pm3.2ni 1487 . . . . . . . . . 10 ¬ ({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3})
8988biorfi 937 . . . . . . . . 9 (({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
9057, 89bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))
9158, 26pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)
9225, 91pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ))
9363, 30pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3)
9493orci 864 . . . . . . . . . . 11 ((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3))
95 prneimg 4879 . . . . . . . . . . 11 (((5 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ V) ∧ (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ)) → (((5 ≠ 0 ∧ 5 ≠ 3) ∨ (𝑛 ≠ 0 ∧ 𝑛 ≠ 3)) → {5, 𝑛} ≠ {0, 3}))
9692, 94, 95mp2 9 . . . . . . . . . 10 {5, 𝑛} ≠ {0, 3}
9796neii 2944 . . . . . . . . 9 ¬ {5, 𝑛} = {0, 3}
9897biorfi 937 . . . . . . . 8 ((({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
9990, 98bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
10024elpr 4672 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ (𝑛 = 0 ∨ 𝑛 = 4))
101 prex 5455 . . . . . . . 8 {5, 𝑛} ∈ V
102 el7g 4713 . . . . . . . 8 ({5, 𝑛} ∈ V → ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5})))))
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 ({5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})) ↔ ({5, 𝑛} = {0, 3} ∨ (({5, 𝑛} = {0, 1} ∨ {5, 𝑛} = {1, 2} ∨ {5, 𝑛} = {2, 3}) ∨ ({5, 𝑛} = {3, 4} ∨ {5, 𝑛} = {4, 5} ∨ {5, 𝑛} = {0, 5}))))
10499, 100, 1033bitr4i 303 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}})))
105104a1i 11 . . . . 5 (((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) ∧ 𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → (𝑛 ∈ {0, 4} ↔ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))))
10623, 105eqrrabd 4103 . . . 4 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {0, 4} = {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))})
107106eqcomd 2740 . . 3 ((0 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∧ 4 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5})) → {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4})
10816, 22, 107mp2an 691 . 2 {𝑛 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4, 5}) ∣ {5, 𝑛} ∈ ({{0, 3}} ∪ ({{0, 1}, {1, 2}, {2, 3}} ∪ {{3, 4}, {4, 5}, {0, 5}}))} = {0, 4}
10911, 108eqtri 2762 1 (𝐺 NeighbVtx 5) = {0, 4}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 846  w3o 1086   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  {crab 3438  Vcvv 3482  cun 3968  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  cop 4654  (class class class)co 7445  cr 11179  0cc0 11180  1c1 11181  2c2 12344  3c3 12345  4c4 12346  5c5 12347  ...cfz 13563  ⟨“cs7 14891   NeighbVtx cnbgr 29358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-s4 14895  df-s5 14896  df-s6 14897  df-s7 14898  df-vtx 29024  df-iedg 29025  df-edg 29074  df-upgr 29108  df-umgr 29109  df-usgr 29177  df-nbgr 29359
This theorem is referenced by:  usgrexmpl2trifr  47772
  Copyright terms: Public domain W3C validator