Theorem difmbl 25423

Description: A difference of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem difmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4265	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵)
2		mblss 25411	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		df-ss 3960	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
5	4	difeq1d 4116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 5	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
8		cmmbl 25414	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
9		inmbl 25422	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
10	8, 9	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2828	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3940   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  dom cdm 5669  ℝcr 11108  volcvol 25343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-ioo 13331  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-ovol 25344  df-vol 25345

This theorem is referenced by:  volinun  25426  iunmbl  25433  volsup  25436  icombl  25444  ioombl  25445  mbfimaicc  25511  mbfeqalem2  25522  mbfss  25526  ismbf3d  25534  i1fd  25561  mbfi1fseqlem4  25599  itg2cnlem2  25643  itgss3  25695  mblfinlem3  37038  mblfinlem4  37039  ismblfin  37040  cnambfre  37047  ftc1anclem5  37076