Theorem difmbl 25516

Description: A difference of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem difmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵)
2		mblss 25504	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		dfss2 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
5	4	difeq1d 4117	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 5	eqtrid 2777	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
7	6	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
8		cmmbl 25507	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
9		inmbl 25515	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
10	8, 9	sylan2 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2826	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  dom cdm 5678  ℝcr 11139  volcvol 25436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-ioo 13363  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-ovol 25437  df-vol 25438

This theorem is referenced by:  volinun  25519  iunmbl  25526  volsup  25529  icombl  25537  ioombl  25538  mbfimaicc  25604  mbfeqalem2  25615  mbfss  25619  ismbf3d  25627  i1fd  25654  mbfi1fseqlem4  25692  itg2cnlem2  25736  itgss3  25788  mblfinlem3  37263  mblfinlem4  37264  ismblfin  37265  cnambfre  37272  ftc1anclem5  37301