Theorem difmbl 25059

Description: A difference of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difmbl	⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Proof of Theorem difmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indif2 4270	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵)
2		mblss 25047	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		df-ss 3965	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
4	2, 3	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ ℝ) = 𝐴)
5	4	difeq1d 4121	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → ((𝐴 ∩ ℝ) ∖ 𝐵) = (𝐴 ∖ 𝐵))
6	1, 5	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
7	6	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) = (𝐴 ∖ 𝐵))
8		cmmbl 25050	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol → (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol)
9		inmbl 25058	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (ℝ ∖ 𝐵) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
10	8, 9	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (ℝ ∖ 𝐵)) ∈ dom vol)
11	7, 10	eqeltrrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ dom vol) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  dom cdm 5676  ℝcr 11108  volcvol 24979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-ovol 24980  df-vol 24981

This theorem is referenced by:  volinun  25062  iunmbl  25069  volsup  25072  icombl  25080  ioombl  25081  mbfimaicc  25147  mbfeqalem2  25158  mbfss  25162  ismbf3d  25170  i1fd  25197  mbfi1fseqlem4  25235  itg2cnlem2  25279  itgss3  25331  mblfinlem3  36522  mblfinlem4  36523  ismblfin  36524  cnambfre  36531  ftc1anclem5  36560