MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthon3v 29798
Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a simple path of length 2 between these other vertices in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2pthon3v.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2pthon3v.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
2pthon3v (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐡,𝑓,𝑝   𝐢,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthon3v
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthon3v.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
2 edgval 28906 . . . . . . . . . 10 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2eqtri 2753 . . . . . . . . 9 𝐸 = ran (iEdgβ€˜πΊ)
43eleq2i 2817 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ))
5 2pthon3v.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
6 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
75, 6uhgrf 28919 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
87ffnd 6718 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
9 fvelrnb 6954 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
114, 10bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
123eleq2i 2817 . . . . . . . 8 ({𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ↔ {𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ))
13 fvelrnb 6954 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
1512, 14bitrid 282 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
1611, 15anbi12d 630 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
1716adantr 479 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
1817adantr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
19 reeanv 3217 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
2018, 19bitr4di 288 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
21 df-s2 14831 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© = (βŸ¨β€œπ‘–β€βŸ© ++ βŸ¨β€œπ‘—β€βŸ©)
2221ovexi 7450 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V
23 df-s3 14832 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© = (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ++ βŸ¨β€œπΆβ€βŸ©)
2423ovexi 7450 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V
2522, 24pm3.2i 469 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V)
26 eqid 2725 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©
28 simp-4r 782 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉))
29 3simpb 1146 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
3029ad3antlr 729 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
31 eqimss2 4032 . . . . . . . . . 10 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–))
32 eqimss2 4032 . . . . . . . . . 10 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢} β†’ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—))
3331, 32anim12i 611 . . . . . . . . 9 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—)))
3433adantl 480 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—)))
35 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡}))
3635anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) ↔ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
37 eqtr2 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ {𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢})
38 3simpa 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
39 3simpc 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉))
40 preq12bg 4850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} ↔ ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡))))
4138, 39, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} ↔ ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡))))
42 eqneqall 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝐡 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4544com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 𝐡 β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
47 eqneqall 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝐢 β†’ (𝐴 β‰  𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4847com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 β‰  𝐢 β†’ (𝐴 = 𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
49483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 = 𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5049com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 𝐢 β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5150adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5246, 51jaoi 855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡)) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5341, 52biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5655imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5837, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5936, 58biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
6059com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
61 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
6260, 61pm2.61ine 3015 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
6362adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
6463imp 405 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
65 simplr2 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
6665adantr 479 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
6726, 27, 28, 30, 34, 5, 6, 64, 662pthond 29797 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
68 s2len 14872 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2
6967, 68jctir 519 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
70 breq12 5148 . . . . . . . 8 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ↔ βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))
71 fveqeq2 6901 . . . . . . . . 9 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
7271adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
7370, 72anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) ↔ (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2)))
7473spc2egv 3578 . . . . . 6 ((βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7525, 69, 74mpsyl 68 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
7675ex 411 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7776rexlimdvva 3202 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7820, 77sylbid 239 . 2 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
79783impia 1114 1 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  ran crn 5673   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  2c2 12297  β™―chash 14321   ++ cconcat 14552  βŸ¨β€œcs1 14577  βŸ¨β€œcs2 14824  βŸ¨β€œcs3 14825  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Edgcedg 28904  UHGraphcuhgr 28913  SPathsOncspthson 29573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-wlks 29457  df-wlkson 29458  df-trls 29550  df-trlson 29551  df-spths 29575  df-spthson 29577
This theorem is referenced by:  2pthfrgr  30138
  Copyright terms: Public domain W3C validator