MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthon3v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthon3v 29706
Description: For a vertex adjacent to two other vertices there is a simple path of length 2 between these other vertices in a hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2pthon3v.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2pthon3v.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
2pthon3v (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑝   𝐡,𝑓,𝑝   𝐢,𝑓,𝑝   𝑓,𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑓,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthon3v
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2pthon3v.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
2 edgval 28817 . . . . . . . . . 10 (Edgβ€˜πΊ) = ran (iEdgβ€˜πΊ)
31, 2eqtri 2754 . . . . . . . . 9 𝐸 = ran (iEdgβ€˜πΊ)
43eleq2i 2819 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ))
5 2pthon3v.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
6 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
75, 6uhgrf 28830 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (iEdgβ€˜πΊ):dom (iEdgβ€˜πΊ)⟢(𝒫 𝑉 βˆ– {βˆ…}))
87ffnd 6712 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ))
9 fvelrnb 6946 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
114, 10bitrid 283 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡}))
123eleq2i 2819 . . . . . . . 8 ({𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ↔ {𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ))
13 fvelrnb 6946 . . . . . . . . 9 ((iEdgβ€˜πΊ) Fn dom (iEdgβ€˜πΊ) β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
148, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ ran (iEdgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
1512, 14bitrid 283 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ ({𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸 ↔ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
1611, 15anbi12d 630 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
1716adantr 480 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
1817adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
19 reeanv 3220 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}))
2018, 19bitr4di 289 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
21 df-s2 14805 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© = (βŸ¨β€œπ‘–β€βŸ© ++ βŸ¨β€œπ‘—β€βŸ©)
2221ovexi 7439 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V
23 df-s3 14806 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© = (βŸ¨β€œπ΄π΅β€βŸ© ++ βŸ¨β€œπΆβ€βŸ©)
2423ovexi 7439 . . . . . . 7 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V
2522, 24pm3.2i 470 . . . . . 6 (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V)
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©
27 eqid 2726 . . . . . . . 8 βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©
28 simp-4r 781 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉))
29 3simpb 1146 . . . . . . . . 9 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
3029ad3antlr 728 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐡 β‰  𝐢))
31 eqimss2 4036 . . . . . . . . . 10 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} β†’ {𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–))
32 eqimss2 4036 . . . . . . . . . 10 (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢} β†’ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—))
3331, 32anim12i 612 . . . . . . . . 9 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—)))
3433adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ ({𝐴, 𝐡} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) ∧ {𝐡, 𝐢} βŠ† ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—)))
35 fveqeq2 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ↔ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡}))
3635anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) ↔ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})))
37 eqtr2 2750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ {𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢})
38 3simpa 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉))
39 3simpc 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉))
40 preq12bg 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} ↔ ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡))))
4138, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} ↔ ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡))))
42 eqneqall 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝐡 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4342com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
44433ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4544com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 𝐡 β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
47 eqneqall 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝐢 β†’ (𝐴 β‰  𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
4847com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 β‰  𝐢 β†’ (𝐴 = 𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
49483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ (𝐴 = 𝐢 β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5049com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 = 𝐢 β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5246, 51jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 = 𝐡 ∧ 𝐡 = 𝐢) ∨ (𝐴 = 𝐢 ∧ 𝐡 = 𝐡)) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5341, 52biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5453com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
5655imp 406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝐴, 𝐡} = {𝐡, 𝐢} β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5837, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
5936, 58biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
6059com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
61 2a1 28 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 β‰  𝑗 β†’ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)))
6260, 61pm2.61ine 3019 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ 𝑖 β‰  𝑗))
6463imp 406 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ 𝑖 β‰  𝑗)
65 simplr2 1213 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
6665adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ 𝐴 β‰  𝐢)
6726, 27, 28, 30, 34, 5, 6, 64, 662pthond 29705 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©)
68 s2len 14846 . . . . . . 7 (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2
6967, 68jctir 520 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
70 breq12 5146 . . . . . . . 8 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ (𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ↔ βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©))
71 fveqeq2 6894 . . . . . . . . 9 (𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
7271adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = 2 ↔ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2))
7370, 72anbi12d 630 . . . . . . 7 ((𝑓 = βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∧ 𝑝 = βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©) β†’ ((𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2) ↔ (βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2)))
7473spc2egv 3583 . . . . . 6 ((βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ© ∈ V ∧ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∈ V) β†’ ((βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ© ∧ (β™―β€˜βŸ¨β€œπ‘–π‘—β€βŸ©) = 2) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7525, 69, 74mpsyl 68 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) ∧ (((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢})) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
7675ex 412 . . . 4 ((((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) ∧ (𝑖 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∧ 𝑗 ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ))) β†’ ((((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7776rexlimdvva 3205 . . 3 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)βˆƒπ‘— ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)(((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘–) = {𝐴, 𝐡} ∧ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘—) = {𝐡, 𝐢}) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
7820, 77sylbid 239 . 2 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢)) β†’ (({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2)))
79783impia 1114 1 (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) ∧ (𝐴 β‰  𝐡 ∧ 𝐴 β‰  𝐢 ∧ 𝐡 β‰  𝐢) ∧ ({𝐴, 𝐡} ∈ 𝐸 ∧ {𝐡, 𝐢} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘“βˆƒπ‘(𝑓(𝐴(SPathsOnβ€˜πΊ)𝐢)𝑝 ∧ (β™―β€˜π‘“) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ran crn 5670   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  2c2 12271  β™―chash 14295   ++ cconcat 14526  βŸ¨β€œcs1 14551  βŸ¨β€œcs2 14798  βŸ¨β€œcs3 14799  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Edgcedg 28815  UHGraphcuhgr 28824  SPathsOncspthson 29481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-wlks 29365  df-wlkson 29366  df-trls 29458  df-trlson 29459  df-spths 29483  df-spthson 29485
This theorem is referenced by:  2pthfrgr  30046
  Copyright terms: Public domain W3C validator