Theorem bcccl 44351

Description: Closure of the generalized binomial coefficient. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcccl	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Proof of Theorem bcccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 44350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4		fallfaccl 15915	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6		faccl 14182	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 12167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
10	5, 8, 9	divcld 11889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
11	3, 10	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996   / cdiv 11766  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  !cfa 14172   FallFac cfallfac 15903  C_𝑐cbcc 44348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-fac 14173  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-clim 15387  df-prod 15803  df-fallfac 15906  df-bcc 44349

This theorem is referenced by:  bccm1k  44354  binomcxplemnn0  44361  binomcxplemfrat  44363  binomcxplemradcnv  44364  binomcxplemcvg  44366  binomcxplemdvsum  44367  binomcxplemnotnn0  44368