Theorem bcccl 41630

Description: Closure of the generalized binomial coefficient. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcccl	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Proof of Theorem bcccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 41629	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4		fallfaccl 15578	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6		faccl 13849	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 11846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 11880	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
10	5, 8, 9	divcld 11608	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
11	3, 10	eqeltrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℕ₀cn0 12090  !cfa 13839   FallFac cfallfac 15566  C_𝑐cbcc 41627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468  df-fallfac 15569  df-bcc 41628

This theorem is referenced by:  bccm1k  41633  binomcxplemnn0  41640  binomcxplemfrat  41642  binomcxplemradcnv  41643  binomcxplemcvg  41645  binomcxplemdvsum  41646  binomcxplemnotnn0  41647