Theorem bcccl 44769

Description: Closure of the generalized binomial coefficient. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcccl	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Proof of Theorem bcccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 44768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4		fallfaccl 15940	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6		faccl 14207	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 12196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
10	5, 8, 9	divcld 11918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
11	3, 10	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025   / cdiv 11795  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  !cfa 14197   FallFac cfallfac 15928  C_𝑐cbcc 44766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12753  df-rp 12907  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-seq 13926  df-exp 13986  df-fac 14198  df-hash 14255  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-clim 15412  df-prod 15828  df-fallfac 15931  df-bcc 44767

This theorem is referenced by:  bccm1k  44772  binomcxplemnn0  44779  binomcxplemfrat  44781  binomcxplemradcnv  44782  binomcxplemcvg  44784  binomcxplemdvsum  44785  binomcxplemnotnn0  44786