Theorem bcccl 45515

Description: Closure of the generalized binomial coefficient. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bcccl	⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Proof of Theorem bcccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		bccval.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
3	1, 2	bccval 45514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4		fallfaccl 16212	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
5	1, 2, 4	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6		faccl 14454	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
7	2, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
9	7	nnne0d 12415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
10	5, 8, 9	divcld 12120	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
11	3, 10	eqeltrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225   / cdiv 12000  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  !cfa 14444   FallFac cfallfac 16200  C_𝑐cbcc 45512

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-prod 16102  df-fallfac 16203  df-bcc 45513

This theorem is used by:  bccm1k  45518  binomcxplemnn0  45525  binomcxplemfrat  45527  binomcxplemradcnv  45528  binomcxplemcvg  45530  binomcxplemdvsum  45531  binomcxplemnotnn0  45532