Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bcccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcccl 39498
Description: Closure of the generalized binomial coefficient. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bcccl (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)

Proof of Theorem bcccl
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
31, 2bccval 39497 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
4 fallfaccl 15149 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
51, 2, 4syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
6 faccl 13388 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
72, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
87nncnd 11392 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
97nnne0d 11425 . . 3 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
105, 8, 9divcld 11151 . 2 (𝜑 → ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) ∈ ℂ)
113, 10eqeltrd 2859 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  cc 10270   / cdiv 11032  cn 11374  0cn0 11642  !cfa 13378   FallFac cfallfac 15137  C𝑐cbcc 39495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-prod 15039  df-fallfac 15140  df-bcc 39496
This theorem is referenced by:  bccm1k  39501  binomcxplemnn0  39508  binomcxplemfrat  39510  binomcxplemradcnv  39511  binomcxplemcvg  39513  binomcxplemdvsum  39514  binomcxplemnotnn0  39515
  Copyright terms: Public domain W3C validator