Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 42819
Description: Lemma for binomcxp 42824. By binomcxplemfrat 42818 and radcnvrat 42781 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ0((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
32oveq1d 7403 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (𝑥𝑘))
43oveq2d 7404 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)))
54mpteq2dva 5236 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))))
6 fveq2 6873 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑦))
7 oveq2 7396 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑦))
86, 7oveq12d 7406 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
98cbvmptv 5249 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
105, 9eqtrdi 2787 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
1110cbvmptv 5249 . . . 4 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
121, 11eqtri 2759 . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1614, 15bcccl 42806 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 7093 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 fvoveq1 7411 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
21 fveq2 6873 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2220, 21oveq12d 7406 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖)))
2322fveq2d 6877 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
2423cbvmptv 5249 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
25 nn0uz 12841 . . 3 0 = (ℤ‘0)
26 0nn0 12464 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
2817a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
29 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
3029oveq2d 7404 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
31 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32 ovexd 7423 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
3328, 30, 31, 32fvmptd 6986 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
34 elfznn0 13571 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3534con3i 154 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3635ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3713adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
38 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3937, 38bcc0 42807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4039necon3abid 2976 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4140adantlr 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4236, 41mpbird 256 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
4333, 42eqnetrd 3007 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
44 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
45 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
46 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4744, 45, 46, 13, 17binomcxplemfrat 42818 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
48 ax-1ne0 11156 . . . 4 1 ≠ 0
4948a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
5012, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49radcnvrat 42781 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
51 1div1e1 11881 . 2 (1 / 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2787 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  {crab 3428  Vcvv 3469   class class class wbr 5136  cmpt 5219  dom cdm 5664  cfv 6527  (class class class)co 7388  supcsup 9412  cc 11085  cr 11086  0cc0 11087  1c1 11088   + caddc 11090   · cmul 11092  *cxr 11224   < clt 11225  cmin 11421   / cdiv 11848  0cn0 12449  +crp 12951  ...cfz 13461  seqcseq 13943  cexp 14004  abscabs 15158  cli 15405  C𝑐cbcc 42803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5273  ax-sep 5287  ax-nul 5294  ax-pow 5351  ax-pr 5415  ax-un 7703  ax-inf2 9613  ax-cnex 11143  ax-resscn 11144  ax-1cn 11145  ax-icn 11146  ax-addcl 11147  ax-addrcl 11148  ax-mulcl 11149  ax-mulrcl 11150  ax-mulcom 11151  ax-addass 11152  ax-mulass 11153  ax-distr 11154  ax-i2m1 11155  ax-1ne0 11156  ax-1rid 11157  ax-rnegex 11158  ax-rrecex 11159  ax-cnre 11160  ax-pre-lttri 11161  ax-pre-lttrn 11162  ax-pre-ltadd 11163  ax-pre-mulgt0 11164  ax-pre-sup 11165
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3429  df-v 3471  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4314  df-if 4518  df-pw 4593  df-sn 4618  df-pr 4620  df-op 4624  df-uni 4897  df-int 4939  df-iun 4987  df-br 5137  df-opab 5199  df-mpt 5220  df-tr 5254  df-id 5562  df-eprel 5568  df-po 5576  df-so 5577  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6284  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7344  df-ov 7391  df-oprab 7392  df-mpo 7393  df-of 7648  df-om 7834  df-1st 7952  df-2nd 7953  df-frecs 8243  df-wrecs 8274  df-recs 8348  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-er 8681  df-pm 8801  df-en 8918  df-dom 8919  df-sdom 8920  df-fin 8921  df-sup 9414  df-inf 9415  df-oi 9482  df-card 9911  df-pnf 11227  df-mnf 11228  df-xr 11229  df-ltxr 11230  df-le 11231  df-sub 11423  df-neg 11424  df-div 11849  df-nn 12190  df-2 12252  df-3 12253  df-n0 12450  df-z 12536  df-uz 12800  df-q 12910  df-rp 12952  df-ioo 13305  df-ico 13307  df-fz 13462  df-fzo 13605  df-fl 13734  df-seq 13944  df-exp 14005  df-fac 14211  df-hash 14268  df-shft 14991  df-cj 15023  df-re 15024  df-im 15025  df-sqrt 15159  df-abs 15160  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15610  df-prod 15827  df-fallfac 15928  df-bcc 42804
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  42820  binomcxplemnotnn0  42823
  Copyright terms: Public domain W3C validator