Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 44348
Description: Lemma for binomcxp 44353. By binomcxplemfrat 44347 and radcnvrat 44310 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ0((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
32oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (𝑥𝑘))
43oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)))
54mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))))
6 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑦))
7 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑦))
86, 7oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
98cbvmptv 5261 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
105, 9eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
1110cbvmptv 5261 . . . 4 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
121, 11eqtri 2763 . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1614, 15bcccl 44335 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 7134 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
21 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2220, 21oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖)))
2322fveq2d 6911 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
2423cbvmptv 5261 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
25 nn0uz 12918 . . 3 0 = (ℤ‘0)
26 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
2817a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
29 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
3029oveq2d 7447 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
31 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32 ovexd 7466 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
3328, 30, 31, 32fvmptd 7023 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
34 elfznn0 13657 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3534con3i 154 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3635ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3713adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
38 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3937, 38bcc0 44336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4039necon3abid 2975 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4140adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
4333, 42eqnetrd 3006 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
44 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
45 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
46 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4744, 45, 46, 13, 17binomcxplemfrat 44347 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
48 ax-1ne0 11222 . . . 4 1 ≠ 0
4948a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
5012, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49radcnvrat 44310 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
51 1div1e1 11956 . 2 (1 / 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2791 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cmin 11490   / cdiv 11918  0cn0 12524  +crp 13032  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cexp 14099  abscabs 15270  cli 15517  C𝑐cbcc 44332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-fallfac 16040  df-bcc 44333
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  44349  binomcxplemnotnn0  44352
  Copyright terms: Public domain W3C validator