Theorem binomcxplemradcnv 44797

Description: Lemma for binomcxp 44802. By binomcxplemfrat 44796 and radcnvrat 44759 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ₀((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemradcnv	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3	2	oveq1d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑥↑𝑘))
4	3	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
5	4	mpteq2dva 5172	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
6		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑦))
7		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑥↑𝑘) = (𝑥↑𝑦))
8	6, 7	oveq12d 7381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
9	8	cbvmptv 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
10	5, 9	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
11	10	cbvmptv 5183	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
12	1, 11	eqtri 2763	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
13		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
16	14, 15	bcccl 44784	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17		binomcxplem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
18	16, 17	fmptd 7062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20		fvoveq1 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
21		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
22	20, 21	oveq12d 7381	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖)))
23	22	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
24	23	cbvmptv 5183	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
25		nn0uz 12824	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26		0nn0 12450	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
28	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
29		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
30	29	oveq2d 7379	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
31		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32		ovexd 7398	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
33	28, 30, 31, 32	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
34		elfznn0 13572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
35	34	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
36	35	ad2antlr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
37	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
38		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
39	37, 38	bcc0 44785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
40	39	necon3abid 2971	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
41	40	adantlr 721	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
42	36, 41	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
43	33, 42	eqnetrd 3002	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
44		binomcxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
45		binomcxp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46		binomcxp.lt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
47	44, 45, 46, 13, 17	binomcxplemfrat 44796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)
48		ax-1ne0 11105	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
50	12, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49	radcnvrat 44759	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
51		1div1e1 11843	. 2 ⊢ (1 / 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2791	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  {crab 3392  Vcvv 3432   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  supcsup 9350  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  ℝ^*cxr 11176   < clt 11177   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕ₀cn0 12435  ℝ⁺crp 12940  ...cfz 13459  seqcseq 13961  ↑cexp 14021  abscabs 15194   ⇝ cli 15444  C_𝑐cbcc 44781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-ioo 13300  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-prod 15867  df-fallfac 15970  df-bcc 44782

This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  44798  binomcxplemnotnn0  44801