Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 44371
Description: Lemma for binomcxp 44376. By binomcxplemfrat 44370 and radcnvrat 44333 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ0((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))))
2 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
32oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏𝑘) = (𝑥𝑘))
43oveq2d 7447 . . . . . . 7 ((𝑏 = 𝑥𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)))
54mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))))
6 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑦))
7 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦 → (𝑥𝑘) = (𝑥𝑦))
86, 7oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘)) = ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
98cbvmptv 5255 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑥𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦)))
105, 9eqtrdi 2793 . . . . 5 (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
1110cbvmptv 5255 . . . 4 (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑘) · (𝑏𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
121, 11eqtri 2765 . . 3 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹𝑦) · (𝑥𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
1614, 15bcccl 44358 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 7134 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
21 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑖))
2220, 21oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖)))
2322fveq2d 6910 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
2423cbvmptv 5255 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹𝑖))))
25 nn0uz 12920 . . 3 0 = (ℤ‘0)
26 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
2817a1i 11 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
29 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
3029oveq2d 7447 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
31 simpr 484 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32 ovexd 7466 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
3328, 30, 31, 32fvmptd 7023 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
34 elfznn0 13660 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
3534con3i 154 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3635ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
3713adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
38 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
3937, 38bcc0 44359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4039necon3abid 2977 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4140adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
4333, 42eqnetrd 3008 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑖) ≠ 0)
44 binomcxp.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
45 binomcxp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
46 binomcxp.lt . . . 4 (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
4744, 45, 46, 13, 17binomcxplemfrat 44370 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹𝑘)))) ⇝ 1)
48 ax-1ne0 11224 . . . 4 1 ≠ 0
4948a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
5012, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49radcnvrat 44333 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
51 1div1e1 11958 . 2 (1 / 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2793 1 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  0cn0 12526  +crp 13034  ...cfz 13547  seqcseq 14042  cexp 14102  abscabs 15273  cli 15520  C𝑐cbcc 44355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-prod 15940  df-fallfac 16043  df-bcc 44356
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375
  Copyright terms: Public domain W3C validator