Theorem binomcxplemradcnv 44336

Description: Lemma for binomcxp 44341. By binomcxplemfrat 44335 and radcnvrat 44298 the radius of convergence of power series Σ𝑘 ∈ ℕ₀((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
binomcxplem.s	⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
binomcxplem.r	⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemradcnv	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝑘,𝑏,𝐹   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗   𝑆,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑏)   𝐴(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐵(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝐶(𝑟,𝑏)   𝑅(𝑗,𝑘,𝑟,𝑏)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑟)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxplem.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))))
2		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑏 = 𝑥)
3	2	oveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑏↑𝑘) = (𝑥↑𝑘))
4	3	oveq2d 7386	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 = 𝑥 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)))
5	4	mpteq2dva 5195	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))))
6		fveq2 6841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑦))
7		oveq2 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑥↑𝑘) = (𝑥↑𝑦))
8	6, 7	oveq12d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘)) = ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
9	8	cbvmptv 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑥↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦)))
10	5, 9	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑥 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘))) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
11	10	cbvmptv 5206	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ ↦ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑘) · (𝑏↑𝑘)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
12	1, 11	eqtri 2752	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐹‘𝑦) · (𝑥↑𝑦))))
13		binomcxp.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
16	14, 15	bcccl 44323	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑗) ∈ ℂ)
17		binomcxplem.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
18	16, 17	fmptd 7069	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℕ0⟶ℂ)
19		binomcxplem.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝑆‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20		fvoveq1 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
21		fveq2 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑖))
22	20, 21	oveq12d 7388	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖)))
23	22	fveq2d 6845	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
24	23	cbvmptv 5206	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑖 + 1)) / (𝐹‘𝑖))))
25		nn0uz 12814	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26		0nn0 12436	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℕ0)
28	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝑗 = 𝑖)
30	29	oveq2d 7386	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑖))
31		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
32		ovexd 7405	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ∈ V)
33	28, 30, 31, 32	fvmptd 6958	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) = (𝐶C𝑐𝑖))
34		elfznn0 13560	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
35	34	con3i 154	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
36	35	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1)))
37	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
38		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
39	37, 38	bcc0 44324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
40	39	necon3abid 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
41	40	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑖 − 1))))
42	36, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑖) ≠ 0)
43	33, 42	eqnetrd 2992	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑖) ≠ 0)
44		binomcxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
45		binomcxp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
46		binomcxp.lt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
47	44, 45, 46, 13, 17	binomcxplemfrat 44335	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)
48		ax-1ne0 11116	. . . 4 ⊢ 1 ≠ 0
49	48	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 1 ≠ 0)
50	12, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49	radcnvrat 44298	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (1 / 1))
51		1div1e1 11852	. 2 ⊢ (1 / 1) = 1
52	50, 51	eqtrdi 2780	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → 𝑅 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  supcsup 9368  ℂcc 11045  ℝcr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   · cmul 11052  ℝ^*cxr 11186   < clt 11187   − cmin 11384   / cdiv 11814  ℕ₀cn0 12421  ℝ⁺crp 12930  ...cfz 13447  seqcseq 13945  ↑cexp 14005  abscabs 15178   ⇝ cli 15428  C_𝑐cbcc 44320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-pm 8780  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-sup 9370  df-inf 9371  df-oi 9440  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11815  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-q 12887  df-rp 12931  df-ioo 13289  df-ico 13291  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-fl 13733  df-seq 13946  df-exp 14006  df-fac 14218  df-hash 14275  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15631  df-prod 15848  df-fallfac 15951  df-bcc 44321

This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  44337  binomcxplemnotnn0  44340