Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemradcnv 42724
Description: Lemma for binomcxp 42729. By binomcxplemfrat 42723 and radcnvrat 42686 the radius of convergence of power series Ξ£π‘˜ ∈ β„•0((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) is one. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
binomcxp.lt (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
binomcxp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
binomcxplem.f 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
binomcxplem.s 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
binomcxplem.r 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemradcnv ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = 1)
Distinct variable groups:   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝑏,𝐹   𝑗,π‘˜,πœ‘   𝐢,𝑗   𝑆,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ÿ,𝑏)   𝐴(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐡(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝐢(π‘Ÿ,𝑏)   𝑅(𝑗,π‘˜,π‘Ÿ,𝑏)   𝑆(𝑗,π‘˜,𝑏)   𝐹(𝑗,π‘Ÿ)

Proof of Theorem binomcxplemradcnv
Dummy variables 𝑖 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.s . . . 4 𝑆 = (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))))
2 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑏 = π‘₯)
32oveq1d 7376 . . . . . . . 8 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘β†‘π‘˜) = (π‘₯β†‘π‘˜))
43oveq2d 7377 . . . . . . 7 ((𝑏 = π‘₯ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)))
54mpteq2dva 5209 . . . . . 6 (𝑏 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))))
6 fveq2 6846 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘¦))
7 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘₯β†‘π‘˜) = (π‘₯↑𝑦))
86, 7oveq12d 7379 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜)) = ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (π‘₯↑𝑦)))
98cbvmptv 5222 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘₯β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (π‘₯↑𝑦)))
105, 9eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑏 = π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜))) = (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (π‘₯↑𝑦))))
1110cbvmptv 5222 . . . 4 (𝑏 ∈ β„‚ ↦ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜) Β· (π‘β†‘π‘˜)))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (π‘₯↑𝑦))))
121, 11eqtri 2761 . . 3 𝑆 = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑦 ∈ β„•0 ↦ ((πΉβ€˜π‘¦) Β· (π‘₯↑𝑦))))
13 binomcxp.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
1614, 15bcccl 42711 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) ∈ β„‚)
17 binomcxplem.f . . . 4 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗))
1816, 17fmptd 7066 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝐹:β„•0βŸΆβ„‚)
19 binomcxplem.r . . 3 𝑅 = sup({π‘Ÿ ∈ ℝ ∣ seq0( + , (π‘†β€˜π‘Ÿ)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
20 fvoveq1 7384 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
21 fveq2 6846 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘–))
2220, 21oveq12d 7379 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) / (πΉβ€˜π‘˜)) = ((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) / (πΉβ€˜π‘–)))
2322fveq2d 6850 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) / (πΉβ€˜π‘˜))) = (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) / (πΉβ€˜π‘–))))
2423cbvmptv 5222 . . 3 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) / (πΉβ€˜π‘˜)))) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜(𝑖 + 1)) / (πΉβ€˜π‘–))))
25 nn0uz 12813 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
26 0nn0 12436 . . . 4 0 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 0 ∈ β„•0)
2817a1i 11 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐹 = (𝑗 ∈ β„•0 ↦ (𝐢C𝑐𝑗)))
29 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = 𝑖) β†’ 𝑗 = 𝑖)
3029oveq2d 7377 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 = 𝑖) β†’ (𝐢C𝑐𝑗) = (𝐢C𝑐𝑖))
31 simpr 486 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
32 ovexd 7396 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑖) ∈ V)
3328, 30, 31, 32fvmptd 6959 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘–) = (𝐢C𝑐𝑖))
34 elfznn0 13543 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)) β†’ 𝐢 ∈ β„•0)
3534con3i 154 . . . . . 6 (Β¬ 𝐢 ∈ β„•0 β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)))
3635ad2antlr 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ Β¬ 𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1)))
3713adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
38 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
3937, 38bcc0 42712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢C𝑐𝑖) = 0 ↔ 𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))))
4039necon3abid 2977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢C𝑐𝑖) β‰  0 ↔ Β¬ 𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))))
4140adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ ((𝐢C𝑐𝑖) β‰  0 ↔ Β¬ 𝐢 ∈ (0...(𝑖 βˆ’ 1))))
4236, 41mpbird 257 . . . 4 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (𝐢C𝑐𝑖) β‰  0)
4333, 42eqnetrd 3008 . . 3 (((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (πΉβ€˜π‘–) β‰  0)
44 binomcxp.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ+)
45 binomcxp.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
46 binomcxp.lt . . . 4 (πœ‘ β†’ (absβ€˜π΅) < (absβ€˜π΄))
4744, 45, 46, 13, 17binomcxplemfrat 42723 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) / (πΉβ€˜π‘˜)))) ⇝ 1)
48 ax-1ne0 11128 . . . 4 1 β‰  0
4948a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 1 β‰  0)
5012, 18, 19, 24, 25, 27, 43, 47, 49radcnvrat 42686 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (1 / 1))
51 1div1e1 11853 . 2 (1 / 1) = 1
5250, 51eqtrdi 2789 1 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐢 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  {crab 3406  Vcvv 3447   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  supcsup 9384  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  β„*cxr 11196   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„•0cn0 12421  β„+crp 12923  ...cfz 13433  seqcseq 13915  β†‘cexp 13976  abscabs 15128   ⇝ cli 15375  C𝑐cbcc 42708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-prod 15797  df-fallfac 15898  df-bcc 42709
This theorem is referenced by:  binomcxplemdvbinom  42725  binomcxplemnotnn0  42728
  Copyright terms: Public domain W3C validator