Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemfrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemfrat 43413
Description: Lemma for binomcxp 43419. binomcxplemrat 43412 implies that when ๐ถ is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.f ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemfrat ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) โ‡ 1)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘˜,๐œ‘   ๐ถ,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘—,๐‘˜)   ๐ต(๐‘—,๐‘˜)   ๐น(๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem binomcxplemfrat
StepHypRef Expression
1 binomcxp.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
42, 3bccp1k 43403 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
5 binomcxplem.f . . . . . . . . . 10 ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
7 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘— = (๐‘˜ + 1))
87oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = (๐‘˜ + 1)) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘—) = (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)))
9 1nn0 12493 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
113, 10nn0addcld 12541 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
12 ovexd 7447 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ V)
136, 8, 11, 12fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)))
14 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = ๐‘˜) โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
1514oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = ๐‘˜) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘—) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
16 ovexd 7447 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โˆˆ V)
176, 15, 3, 16fvmptd 7005 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
1817oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
194, 13, 183eqtr4d 2781 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
2019adantlr 712 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
2120eqcomd 2737 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))
222, 3bcccl 43401 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2317, 22eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2423adantlr 712 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
252adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2726nn0cnd 12539 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2825, 27subcld 11576 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11214 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3027, 29addcld 11238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
31 nn0p1nn 12516 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3231nnne0d 12267 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
3428, 30, 33divcld 11995 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3524, 34mulcld 11239 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
3620, 35eqeltrd 2832 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3717adantlr 712 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
38 elfznn0 13599 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3938con3i 154 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)))
4039ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)))
4125, 26bcc0 43402 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถC๐‘๐‘˜) = 0 โ†” ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))))
4241necon3abid 2976 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถC๐‘๐‘˜) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))))
4340, 42mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โ‰  0)
4437, 43eqnetrd 3007 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
4536, 24, 34, 44divmuld 12017 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)) โ†” ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
4621, 45mpbird 257 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))
4746fveq2d 6895 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
4847mpteq2dva 5248 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))))
49 binomcxp.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
50 binomcxp.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51 binomcxp.lt . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
5249, 50, 51, 1binomcxplemrat 43412 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))) โ‡ 1)
5352adantr 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))) โ‡ 1)
5448, 53eqbrtrd 5170 1 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) โ‡ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•0cn0 12477  โ„+crp 12979  ...cfz 13489  abscabs 15186   โ‡ cli 15433  C๐‘cbcc 43398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-prod 15855  df-fallfac 15956  df-bcc 43399
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  43414
  Copyright terms: Public domain W3C validator