Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemfrat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomcxplemfrat 43096
Description: Lemma for binomcxp 43102. binomcxplemrat 43095 implies that when ๐ถ is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
binomcxp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
binomcxp.lt (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
binomcxp.c (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
binomcxplem.f ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
Assertion
Ref Expression
binomcxplemfrat ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) โ‡ 1)
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘˜,๐œ‘   ๐ถ,๐‘—,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘—,๐‘˜)   ๐ต(๐‘—,๐‘˜)   ๐น(๐‘—,๐‘˜)

Proof of Theorem binomcxplemfrat
StepHypRef Expression
1 binomcxp.c . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
21adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
3 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
42, 3bccp1k 43086 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)) = ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
5 binomcxplem.f . . . . . . . . . 10 ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—))
65a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น = (๐‘— โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ถC๐‘๐‘—)))
7 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = (๐‘˜ + 1)) โ†’ ๐‘— = (๐‘˜ + 1))
87oveq2d 7422 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = (๐‘˜ + 1)) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘—) = (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)))
9 1nn0 12485 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„•0
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
113, 10nn0addcld 12533 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
12 ovexd 7441 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ V)
136, 8, 11, 12fvmptd 7003 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = (๐ถC๐‘(๐‘˜ + 1)))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = ๐‘˜) โ†’ ๐‘— = ๐‘˜)
1514oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘— = ๐‘˜) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘—) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
16 ovexd 7441 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โˆˆ V)
176, 15, 3, 16fvmptd 7003 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
1817oveq1d 7421 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = ((๐ถC๐‘๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
194, 13, 183eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
2019adantlr 714 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
2120eqcomd 2739 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)))
222, 3bcccl 43084 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2317, 22eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2423adantlr 714 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
252adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
26 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2726nn0cnd 12531 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
2825, 27subcld 11568 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
29 1cnd 11206 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3027, 29addcld 11230 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
31 nn0p1nn 12508 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
3231nnne0d 12259 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
3332adantl 483 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
3428, 30, 33divcld 11987 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3524, 34mulcld 11231 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) โˆˆ โ„‚)
3620, 35eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
3717adantlr 714 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ถC๐‘๐‘˜))
38 elfznn0 13591 . . . . . . . . . 10 (๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•0)
3938con3i 154 . . . . . . . . 9 (ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)))
4039ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1)))
4125, 26bcc0 43085 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถC๐‘๐‘˜) = 0 โ†” ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))))
4241necon3abid 2978 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ถC๐‘๐‘˜) โ‰  0 โ†” ยฌ ๐ถ โˆˆ (0...(๐‘˜ โˆ’ 1))))
4340, 42mpbird 257 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ถC๐‘๐‘˜) โ‰  0)
4437, 43eqnetrd 3009 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โ‰  0)
4536, 24, 34, 44divmuld 12009 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)) โ†” ((๐นโ€˜๐‘˜) ยท ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))) = (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))))
4621, 45mpbird 257 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)) = ((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))
4746fveq2d 6893 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜))) = (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1))))
4847mpteq2dva 5248 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))))
49 binomcxp.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
50 binomcxp.b . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51 binomcxp.lt . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) < (absโ€˜๐ด))
5249, 50, 51, 1binomcxplemrat 43095 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))) โ‡ 1)
5352adantr 482 . 2 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐ถ โˆ’ ๐‘˜) / (๐‘˜ + 1)))) โ‡ 1)
5448, 53eqbrtrd 5170 1 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (absโ€˜((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) / (๐นโ€˜๐‘˜)))) โ‡ 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  Vcvv 3475   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11245   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•0cn0 12469  โ„+crp 12971  ...cfz 13481  abscabs 15178   โ‡ cli 15425  C๐‘cbcc 43081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-prod 15847  df-fallfac 15948  df-bcc 43082
This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  43097
  Copyright terms: Public domain W3C validator