Theorem binomcxplemfrat 45178

Description: Lemma for binomcxp 45184. binomcxplemrat 45177 implies that when 𝐶 is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemfrat	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗, 𝑘)   𝐵(𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemfrat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccp1k 45168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
5		binomcxplem.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
7		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
8	7	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
9		1nn0 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
11	3, 10	nn0addcld 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
12		ovexd 7449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V)
13	6, 8, 11, 12	fvmptd 6995	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
14		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
15	14	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
16		ovexd 7449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
17	6, 15, 3, 16	fvmptd 6995	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
18	17	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
19	4, 13, 18	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
20	19	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
21	20	eqcomd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22	2, 3	bcccl 45166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
25	2	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	nn0cnd 12594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	25, 27	subcld 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
29		1cnd 11229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
30	27, 29	addcld 11255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
31		nn0p1nn 12570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
32	31	nnne0d 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
33	32	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
34	28, 30, 33	divcld 12018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35	24, 34	mulcld 11256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
36	20, 35	eqeltrd 2860	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	17	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
38		elfznn0 13678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
39	38	con3i 155	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
40	39	ad2antlr 740	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
41	25, 26	bcc0 45167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
42	41	necon3abid 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
43	40, 42	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0)
44	37, 43	eqnetrd 3022	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
45	36, 24, 34, 44	divmuld 12040	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
46	21, 45	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
47	46	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
48	47	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
49		binomcxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
50		binomcxp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51		binomcxp.lt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
52	49, 50, 51, 1	binomcxplemrat 45177	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
53	52	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
54	48, 53	eqbrtrd 5127	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕ₀cn0 12531  ℝ⁺crp 13045  ...cfz 13564  abscabs 15324   ⇝ cli 15574  C_𝑐cbcc 45163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-fac 14341  df-hash 14398  df-shft 15143  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-prod 15996  df-fallfac 16097  df-bcc 45164

This theorem is used by:  binomcxplemradcnv  45179