Theorem binomcxplemfrat 44347

Description: Lemma for binomcxp 44353. binomcxplemrat 44346 implies that when 𝐶 is not a nonnegative integer, the absolute value of the ratio ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) converges to one. The rest of equation "Since continuity of the absolute value..." in the Wikibooks proof. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
binomcxp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
binomcxp.lt	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
binomcxp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
binomcxplem.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemfrat	⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝜑   𝐶,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem binomcxplemfrat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4	2, 3	bccp1k 44337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
5		binomcxplem.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗))
6	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐹 = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶C𝑐𝑗)))
7		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → 𝑗 = (𝑘 + 1))
8	7	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = (𝑘 + 1)) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
9		1nn0 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
11	3, 10	nn0addcld 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
12		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)) ∈ V)
13	6, 8, 11, 12	fvmptd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐶C𝑐(𝑘 + 1)))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → 𝑗 = 𝑘)
15	14	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 = 𝑘) → (𝐶C𝑐𝑗) = (𝐶C𝑐𝑘))
16		ovexd 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ V)
17	6, 15, 3, 16	fvmptd 7023	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = ((𝐶C𝑐𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
19	4, 13, 18	3eqtr4d 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
20	19	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
21	20	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
22	2, 3	bcccl 44335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ∈ ℂ)
23	17, 22	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
24	23	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
25	2	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	26	nn0cnd 12587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
28	25, 27	subcld 11618	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶 − 𝑘) ∈ ℂ)
29		1cnd 11254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
30	27, 29	addcld 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
31		nn0p1nn 12563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
32	31	nnne0d 12314	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ≠ 0)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
34	28, 30, 33	divcld 12041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
35	24, 34	mulcld 11279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
36	20, 35	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
37	17	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐶C𝑐𝑘))
38		elfznn0 13657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)) → 𝐶 ∈ ℕ0)
39	38	con3i 154	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐶 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
40	39	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1)))
41	25, 26	bcc0 44336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) = 0 ↔ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
42	41	necon3abid 2975	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 ∈ (0...(𝑘 − 1))))
43	40, 42	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐶C𝑐𝑘) ≠ 0)
44	37, 43	eqnetrd 3006	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ≠ 0)
45	36, 24, 34, 44	divmuld 12063	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑘) · ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))) = (𝐹‘(𝑘 + 1))))
46	21, 45	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)) = ((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))
47	46	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘))) = (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1))))
48	47	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))))
49		binomcxp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
50		binomcxp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
51		binomcxp.lt	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐵) < (abs‘𝐴))
52	49, 50, 51, 1	binomcxplemrat 44346	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐶 − 𝑘) / (𝑘 + 1)))) ⇝ 1)
54	48, 53	eqbrtrd 5170	1 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (abs‘((𝐹‘(𝑘 + 1)) / (𝐹‘𝑘)))) ⇝ 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕ₀cn0 12524  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544  abscabs 15270   ⇝ cli 15517  C_𝑐cbcc 44332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-prod 15937  df-fallfac 16040  df-bcc 44333

This theorem is referenced by:  binomcxplemradcnv  44348