MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsfi 16412
Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12512 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 12317 . . . 4 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
4 1lt2 12414 . . . 4 1 < 2
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
6 expnbnd 14227 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
71, 3, 5, 6syl3anc 1369 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
8 fzofi 13972 . . 3 (0..^π‘š) ∈ Fin
9 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 nn0uz 12895 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119, 10eleqtrdi 2839 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
12 2nn 12316 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 2 ∈ β„•)
14 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnnn0d 12563 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1613, 15nnexpcld 14240 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnzd 12616 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„€)
18 simprr 772 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 < (2β†‘π‘š))
19 elfzo2 13668 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (2β†‘π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š)))
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1341 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)))
219nn0zd 12615 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 bitsfzo 16410 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2321, 15, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2420, 23mpbid 231 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š))
25 ssfi 9198 . . 3 (((0..^π‘š) ∈ Fin ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
268, 24, 25sylancr 586 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
277, 26rexlimddv 3158 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8964  β„cr 11138  0cc0 11139  1c1 11140   < clt 11279  β„•cn 12243  2c2 12298  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  ..^cfzo 13660  β†‘cexp 14059  bitscbits 16394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-seq 14000  df-exp 14060  df-dvds 16232  df-bits 16397
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16418  bitsf1ocnv  16419  bitsf1  16421  eulerpartlemgc  33982  eulerpartlemgs2  34000
  Copyright terms: Public domain W3C validator