MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsfi 16383
Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12482 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 12287 . . . 4 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
4 1lt2 12384 . . . 4 1 < 2
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
6 expnbnd 14198 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
71, 3, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
8 fzofi 13942 . . 3 (0..^π‘š) ∈ Fin
9 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 nn0uz 12865 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119, 10eleqtrdi 2837 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
12 2nn 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 2 ∈ β„•)
14 simprl 768 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnnn0d 12533 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1613, 15nnexpcld 14211 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnzd 12586 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„€)
18 simprr 770 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 < (2β†‘π‘š))
19 elfzo2 13638 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (2β†‘π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š)))
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1340 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)))
219nn0zd 12585 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 bitsfzo 16381 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2321, 15, 22syl2anc 583 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2420, 23mpbid 231 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š))
25 ssfi 9172 . . 3 (((0..^π‘š) ∈ Fin ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
268, 24, 25sylancr 586 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
277, 26rexlimddv 3155 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Fincfn 8938  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  ..^cfzo 13630  β†‘cexp 14030  bitscbits 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-dvds 16203  df-bits 16368
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16389  bitsf1ocnv  16390  bitsf1  16392  eulerpartlemgc  33891  eulerpartlemgs2  33909
  Copyright terms: Public domain W3C validator