Theorem bitsfi 16587

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2re 12398	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4		1lt2 12496	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
6		expnbnd 14356	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
8		fzofi 14097	. . 3 ⊢ (0..^𝑚) ∈ Fin
9		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		nn0uz 12984	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
12		2nn 12397	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 2 ∈ ℕ)
14		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
16	13, 15	nnexpcld 14369	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12700	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
18		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 < (2↑𝑚))
19		elfzo2 13776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚)))
20	11, 17, 18, 19	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)))
21	9	nn0zd 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		bitsfzo 16585	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
23	21, 15, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
24	20, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚))
25		ssfi 9172	. . 3 ⊢ (((0..^𝑚) ∈ Fin ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
26	8, 24, 25	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
27	7, 26	rexlimddv 3170	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Fincfn 8957  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324  ℕcn 12316  2c2 12378  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℤ_≥cuz 12946  ..^cfzo 13768  ↑cexp 14184  bitscbits 16569

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-dvds 16403  df-bits 16572

This theorem is used by:  bitsinv2  16593  bitsf1ocnv  16594  bitsf1  16596  eulerpartlemgc  34977  eulerpartlemgs2  34995