Theorem bitsfi 16072

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12172	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2re 11977	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4		1lt2 12074	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
6		expnbnd 13875	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
8		fzofi 13622	. . 3 ⊢ (0..^𝑚) ∈ Fin
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		nn0uz 12549	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
12		2nn 11976	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 2 ∈ ℕ)
14		simprl 767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
16	13, 15	nnexpcld 13888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12354	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
18		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 < (2↑𝑚))
19		elfzo2 13319	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚)))
20	11, 17, 18, 19	syl3anbrc 1341	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)))
21	9	nn0zd 12353	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		bitsfzo 16070	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
23	21, 15, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
24	20, 23	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚))
25		ssfi 8918	. . 3 ⊢ (((0..^𝑚) ∈ Fin ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
26	8, 24, 25	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
27	7, 26	rexlimddv 3219	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ..^cfzo 13311  ↑cexp 13710  bitscbits 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-dvds 15892  df-bits 16057

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16078  bitsf1ocnv  16079  bitsf1  16081  eulerpartlemgc  32229  eulerpartlemgs2  32247