MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem bitsfi 16374
Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 12477 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
2 2re 12282 . . . 4 2 ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ ℝ)
4 1lt2 12379 . . . 4 1 < 2
54a1i 11 . . 3 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 1 < 2)
6 expnbnd 14191 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
71, 3, 5, 6syl3anc 1371 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„• 𝑁 < (2β†‘π‘š))
8 fzofi 13935 . . 3 (0..^π‘š) ∈ Fin
9 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
10 nn0uz 12860 . . . . . 6 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
119, 10eleqtrdi 2843 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
12 2nn 12281 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
1312a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 2 ∈ β„•)
14 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•)
1514nnnn0d 12528 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
1613, 15nnexpcld 14204 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„•)
1716nnzd 12581 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (2β†‘π‘š) ∈ β„€)
18 simprr 771 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 < (2β†‘π‘š))
19 elfzo2 13631 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ (2β†‘π‘š) ∈ β„€ ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š)))
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1343 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)))
219nn0zd 12580 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
22 bitsfzo 16372 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2321, 15, 22syl2anc 584 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (𝑁 ∈ (0..^(2β†‘π‘š)) ↔ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)))
2420, 23mpbid 231 . . 3 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š))
25 ssfi 9169 . . 3 (((0..^π‘š) ∈ Fin ∧ (bitsβ€˜π‘) βŠ† (0..^π‘š)) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
268, 24, 25sylancr 587 . 2 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ (π‘š ∈ β„• ∧ 𝑁 < (2β†‘π‘š))) β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
277, 26rexlimddv 3161 1 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (bitsβ€˜π‘) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  ..^cfzo 13623  β†‘cexp 14023  bitscbits 16356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-dvds 16194  df-bits 16359
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16380  bitsf1ocnv  16381  bitsf1  16383  eulerpartlemgc  33349  eulerpartlemgs2  33367
  Copyright terms: Public domain W3C validator