Theorem bitsfi 16406

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		2re 12255	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
4		1lt2 12347	. . . 4 ⊢ 1 < 2
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
6		expnbnd 14194	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∃𝑚 ∈ ℕ 𝑁 < (2↑𝑚))
8		fzofi 13936	. . 3 ⊢ (0..^𝑚) ∈ Fin
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		nn0uz 12826	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
11	9, 10	eleqtrdi 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
12		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 2 ∈ ℕ)
14		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
16	13, 15	nnexpcld 14207	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
17	16	nnzd 12550	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
18		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 < (2↑𝑚))
19		elfzo2 13616	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (2↑𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚)))
20	11, 17, 18, 19	syl3anbrc 1345	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)))
21	9	nn0zd 12549	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		bitsfzo 16404	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
23	21, 15, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (𝑁 ∈ (0..^(2↑𝑚)) ↔ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)))
24	20, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚))
25		ssfi 9107	. . 3 ⊢ (((0..^𝑚) ∈ Fin ∧ (bits‘𝑁) ⊆ (0..^𝑚)) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
26	8, 24, 25	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 < (2↑𝑚))) → (bits‘𝑁) ∈ Fin)
27	7, 26	rexlimddv 3144	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (bits‘𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   < clt 11179  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ↑cexp 14023  bitscbits 16388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-dvds 16222  df-bits 16391

This theorem is referenced by:  bitsinv2  16412  bitsf1ocnv  16413  bitsf1  16415  eulerpartlemgc  34506  eulerpartlemgs2  34524