Theorem btwnexch3and 35883

Description: Deduction form of btwnexch3 35882. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
btwnexch3and.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
btwnexch3and.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexch3and.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexch3and.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexch3and.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
btwnexch3and.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
btwnexch3and.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Assertion

Ref	Expression
btwnexch3and	⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Proof of Theorem btwnexch3and

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnexch3and.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
2		btwnexch3and.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
3		btwnexch3and.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		btwnexch3and.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
5		btwnexch3and.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
6		btwnexch3and.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
7		btwnexch3and.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
8		btwnexch3 35882	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩))
9	3, 4, 5, 6, 7, 8	syl122anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩))
10	9	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩))
11	1, 2, 10	mp2and 697	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐶 Btwn ⟨𝐵, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2100  ⟨cop 4642   class class class wbr 5156  ‘cfv 6558  ℕcn 12274  𝔼cee 28845   Btwn cbtwn 28846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-inf2 9691  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8742  df-map 8865  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-sup 9492  df-oi 9560  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-n0 12535  df-z 12621  df-uz 12885  df-rp 13039  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13692  df-seq 14033  df-exp 14093  df-hash 14360  df-cj 15125  df-re 15126  df-im 15127  df-sqrt 15261  df-abs 15262  df-clim 15511  df-sum 15712  df-ee 28848  df-btwn 28849  df-cgr 28850

This theorem is referenced by:  cgrxfr  35917  btwnconn1lem1  35949  btwnconn1lem2  35950  btwnconn1lem12  35960  btwnconn3  35965  btwnoutside  35987  broutsideof3  35988  lineunray  36009  lineelsb2  36010