Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  btwnoutside Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem btwnoutside 33579
Description: A principle linking outsideness to betweenness. Theorem 6.2 of [Schwabhauser] p. 43. (Contributed by Scott Fenton, 18-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
btwnoutside ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩)))

Proof of Theorem btwnoutside
StepHypRef Expression
1 df-3an 1084 . . . . . 6 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
2 simpr11 1252 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝐴𝑃)
3 simpr12 1253 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝐵𝑃)
4 simpr13 1254 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝐶𝑃)
5 simp1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
6 simp3r 1197 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
7 simp2l 1194 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
8 simp3l 1196 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 simpr2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
105, 6, 7, 8, 9btwncomand 33469 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩)
11 simp2r 1195 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
12 simpr3 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
135, 6, 11, 8, 12btwncomand 33469 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩)
14 btwnconn2 33556 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
15143com23 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐶𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
1615adantr 483 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → ((𝐶𝑃𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐶, 𝐵⟩) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
174, 10, 13, 16mp3and 1458 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
182, 3, 173jca 1123 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
191, 18sylan2br 596 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)) → (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)))
2019expr 459 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ → (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
21 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
22 df-3an 1084 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩))
23 simpr11 1252 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴𝑃)
24 simpr3 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)
255, 7, 6, 11, 24btwncomand 33469 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩)
26 simpr2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
27 btwnouttr2 33476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴𝑃𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
285, 11, 7, 6, 8, 27syl122anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐴𝑃𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
2928adantr 483 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → ((𝐴𝑃𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
3023, 25, 26, 29mp3and 1458 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3122, 30sylan2br 596 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3231expr 459 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
33 df-3an 1084 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) ↔ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))
34 simpr3 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)
355, 11, 6, 7, 34btwncomand 33469 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝑃⟩)
36 simpr2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)
375, 7, 11, 6, 8, 35, 36btwnexch3and 33475 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3833, 37sylan2br 596 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) ∧ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩)
3938expr 459 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩ → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
4032, 39jaod 855 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
4121, 40syl5 34 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → ((𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩))
4220, 41impbid 214 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
43 broutsideof2 33576 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
445, 6, 7, 11, 43syl13anc 1367 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4544adantr 483 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴𝑃𝐵𝑃 ∧ (𝐴 Btwn ⟨𝑃, 𝐵⟩ ∨ 𝐵 Btwn ⟨𝑃, 𝐴⟩))))
4642, 45bitr4d 284 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩))
4746ex 415 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (((𝐴𝑃𝐵𝑃𝐶𝑃) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝐵, 𝐶⟩ ↔ 𝑃OutsideOf⟨𝐴, 𝐵⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1082  wcel 2108  wne 3014  cop 4565   class class class wbr 5057  cfv 6348  cn 11630  𝔼cee 26666   Btwn cbtwn 26667  OutsideOfcoutsideof 33573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-ee 26669  df-btwn 26670  df-cgr 26671  df-ofs 33437  df-colinear 33493  df-ifs 33494  df-cgr3 33495  df-fs 33496  df-outsideof 33574
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator