Theorem btwnconn3 36686

Description: Inner connectivity law for betweenness. Theorem 5.3 of [Schwabhauser] p. 41. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2013.)

Assertion

Ref	Expression
btwnconn3	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))

Proof of Theorem btwnconn3

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		simp3r 1221	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
3		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
4		btwndiff 36610	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝))
6		simprlr 792	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 ≠ 𝑝)
7	6	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝑝 ≠ 𝐴)
8		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
9		simpl2l 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
10		simpl2r 1246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
11		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁))
12		simpl3r 1248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
13		simprrl 793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
14	8, 10, 9, 12, 13	btwncomand 36598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐵 Btwn ⟨𝐷, 𝐴⟩)
15		simprll 791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩)
16	8, 12, 10, 9, 11, 14, 15	btwnexch3and 36604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐵, 𝑝⟩)
17	8, 9, 10, 11, 16	btwncomand 36598	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐵⟩)
18		simpl3l 1247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
19		simprrr 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)
20	8, 18, 9, 12, 19	btwncomand 36598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐶 Btwn ⟨𝐷, 𝐴⟩)
21	8, 12, 18, 9, 11, 20, 15	btwnexch3and 36604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝐶, 𝑝⟩)
22	8, 9, 18, 11, 21	btwncomand 36598	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐶⟩)
23	7, 17, 22	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩))) → (𝑝 ≠ 𝐴 ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐶⟩))
24	23	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) → (𝑝 ≠ 𝐴 ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐶⟩)))
25		btwnconn2 36685	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑝 ≠ 𝐴 ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐶⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
26	8, 11, 9, 10, 18, 25	syl122anc 1406	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑝 ≠ 𝐴 ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐵⟩ ∧ 𝐴 Btwn ⟨𝑝, 𝐶⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
27	24, 26	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) ∧ (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩)) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))
28	27	expd 421	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
29	28	rexlimdva 3163	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∃𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁)(𝐴 Btwn ⟨𝐷, 𝑝⟩ ∧ 𝐴 ≠ 𝑝) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩))))
30	5, 29	mpd 16	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐷⟩) → (𝐵 Btwn ⟨𝐴, 𝐶⟩ ∨ 𝐶 Btwn ⟨𝐴, 𝐵⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℕcn 12260  𝔼cee 29347   Btwn cbtwn 29348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13046  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-sum 15777  df-ee 29350  df-btwn 29351  df-cgr 29352  df-ofs 36566  df-colinear 36622  df-ifs 36623  df-cgr3 36624  df-fs 36625

This theorem is used by:  midofsegid  36687  outsideoftr  36712  lineelsb2  36731