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Theorem lineelsb2 36149
Description: If 𝑆 lies on 𝑃𝑄, then 𝑃𝑄 = 𝑃𝑆. Theorem 6.16 of [Schwabhauser] p. 45. (Contributed by Scott Fenton, 27-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
lineelsb2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃Line𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑆)))

Proof of Theorem lineelsb2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 simpl3l 1229 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 simpl21 1252 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
4 simpl22 1253 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
5 brcolinear 36060 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1374 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)))
76biimpa 476 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩))
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))
9 brcolinear 36060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
101, 8, 3, 4, 9syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
12 btwnconn3 36104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
131, 3, 2, 8, 4, 12syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
1413imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩))
15 btwncolinear3 36072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
161, 3, 8, 2, 15syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
17 btwncolinear5 36074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
181, 3, 2, 8, 17syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
1916, 18jaod 860 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
2114, 20mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
2221expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
23 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
241, 2, 3, 4, 23btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩)
25 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
261, 4, 2, 3, 8, 24, 25btwnexch3and 36022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
27 btwncolinear4 36073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
281, 2, 8, 3, 27syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
3026, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
3130expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
32 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
33 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
341, 4, 8, 3, 33btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
351, 3, 2, 4, 8, 32, 34btwnexchand 36027 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
3616adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
3735, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
3837expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
3922, 31, 383jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
4011, 39sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
41 brcolinear 36060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
421, 8, 3, 2, 41syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
44 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
45 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
461, 3, 8, 2, 4, 44, 45btwnexchand 36027 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
47 btwncolinear5 36074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
481, 3, 4, 8, 47syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
5046, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
5150expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
52 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃𝑆)
5352necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑆𝑃)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑆𝑃)
55 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
561, 2, 3, 4, 55btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩)
57 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
58 btwnouttr2 36023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑆𝑃𝑆 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
591, 4, 2, 3, 8, 58syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑆𝑃𝑆 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
6059adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → ((𝑆𝑃𝑆 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
6154, 56, 57, 60mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
62 btwncolinear4 36073 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
631, 4, 8, 3, 62syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
6561, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
6665expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
6752adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃𝑆)
68 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
69 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
701, 2, 8, 3, 69btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
71 btwnconn1 36102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝑆𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
721, 3, 2, 4, 8, 71syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃𝑆𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
7372adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑃𝑆𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
7467, 68, 70, 73mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩))
75 btwncolinear3 36072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
761, 3, 8, 4, 75syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
7776, 48jaod 860 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
7974, 78mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
8079expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
8151, 66, 803jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
8243, 81sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
8340, 82impbid 212 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
8410adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
85 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
861, 8, 3, 4, 85btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑄, 𝑃⟩)
87 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
881, 4, 8, 3, 2, 86, 87btwnexch3and 36022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑆⟩)
89 btwncolinear2 36071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
901, 8, 2, 3, 89syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
9288, 91mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
9392expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
94 simpl23 1254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑃𝑄)
9594necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → 𝑄𝑃)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑄𝑃)
97 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
98 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
99 btwnconn2 36103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
1001, 4, 3, 2, 8, 99syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → ((𝑄𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
10296, 97, 98, 101mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩))
10319adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
104102, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
105104expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
10694adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃𝑄)
107 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
1081, 3, 4, 2, 107btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩)
109 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
1101, 4, 8, 3, 109btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
111 btwnouttr 36025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝑄𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
1121, 2, 3, 4, 8, 111syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃𝑄𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑃𝑄𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
114106, 108, 110, 113mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
11528adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
116114, 115mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
117116expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
11893, 105, 1173jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
11984, 118sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
12042adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
121 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
1221, 8, 3, 2, 121btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
123 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
1241, 3, 4, 2, 123btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩)
1251, 2, 8, 3, 4, 122, 124btwnexch3and 36022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑄⟩)
126 btwncolinear2 36071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
1271, 8, 4, 3, 126syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑥, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
129125, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
130129expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
13153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑆𝑃)
132 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
1331, 3, 4, 2, 132btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩)
134 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
135 btwnconn2 36103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑆𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
1361, 2, 3, 4, 8, 135syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑆𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → ((𝑆𝑃𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑄⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
138131, 133, 134, 137mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩))
13977adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
140138, 139mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
141140expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
14252adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃𝑆)
143 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩)
144 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
1451, 2, 8, 3, 144btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
146 btwnouttr 36025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝑆𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
1471, 4, 3, 2, 8, 146syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃𝑆𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
148147adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑃𝑆𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩))
149142, 143, 145, 148mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
15063adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
151149, 150mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
152151expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
153130, 141, 1523jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
154120, 153sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
155119, 154impbid 212 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
15610adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
157 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)
158 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
1591, 4, 2, 3, 158btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
1601, 3, 8, 4, 2, 157, 159btwnexchand 36027 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
16118adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
162160, 161mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
163162expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
16495adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑄𝑃)
165 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
166 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
167 btwnouttr2 36023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄𝑃𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
1681, 2, 4, 3, 8, 167syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄𝑃𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
169168adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → ((𝑄𝑃𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩))
170164, 165, 166, 169mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
17128adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
172170, 171mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
173172expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
17494adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑃𝑄)
175 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
1761, 4, 2, 3, 175btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
177 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
1781, 4, 8, 3, 177btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
179 btwnconn1 36102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑃𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
1801, 3, 4, 2, 8, 179syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑃𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
181180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑃𝑄𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)))
182174, 176, 178, 181mp3and 1466 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩))
18319adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → ((𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
184182, 183mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩)
185184expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
186163, 173, 1853jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
187156, 186sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
18842adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ ↔ (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)))
189 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
1901, 4, 2, 3, 189btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
191 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
192 btwnconn3 36104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
1931, 3, 4, 8, 2, 192syl122anc 1381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
194193adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
195190, 191, 194mp2and 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩))
19677adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → ((𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
197195, 196mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
198197expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
199 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
200 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)
2011, 2, 4, 3, 8, 199, 200btwnexch3and 36022 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩)
20263adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → (𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
203201, 202mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
204203expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
205 simprl 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)
2061, 4, 2, 3, 205btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩)
207 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)
2081, 2, 8, 3, 207btwncomand 36016 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
2091, 3, 4, 2, 8, 206, 208btwnexchand 36027 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩)
21076adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → (𝑄 Btwn ⟨𝑃, 𝑥⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
211209, 210mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩ ∧ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩)) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)
212211expr 456 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
213198, 204, 2123jaod 1431 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → ((𝑥 Btwn ⟨𝑃, 𝑆⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑆, 𝑥⟩ ∨ 𝑆 Btwn ⟨𝑥, 𝑃⟩) → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
214188, 213sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩ → 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
215187, 214impbid 212 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
21683, 155, 2153jaodan 1433 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 Btwn ⟨𝑃, 𝑄⟩ ∨ 𝑃 Btwn ⟨𝑄, 𝑆⟩ ∨ 𝑄 Btwn ⟨𝑆, 𝑃⟩)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
2177, 216syldan 591 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
218217adantrl 716 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
219218an32s 652 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)) ∧ 𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩))
220219rabbidva 3443 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)) → {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩})
221220ex 412 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → ((𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩) → {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩}))
222 fvline2 36147 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄)) → (𝑃Line𝑄) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩})
2232223adant3 1133 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑃Line𝑄) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩})
224223eleq2d 2827 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃Line𝑄) ↔ 𝑆 ∈ {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩}))
225 breq1 5146 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩ ↔ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
226225elrab 3692 . . 3 (𝑆 ∈ {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} ↔ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩))
227224, 226bitrdi 287 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃Line𝑄) ↔ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩)))
228 simp1 1137 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → 𝑁 ∈ ℕ)
229 simp21 1207 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
230 simp3l 1202 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁))
231 simp3r 1203 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → 𝑃𝑆)
232 fvline2 36147 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑃Line𝑆) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩})
233228, 229, 230, 231, 232syl13anc 1374 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑃Line𝑆) = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩})
234223, 233eqeq12d 2753 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → ((𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑆) ↔ {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑄⟩} = {𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑥 Colinear ⟨𝑃, 𝑆⟩}))
235221, 227, 2343imtr4d 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑄) ∧ (𝑆 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑃𝑆)) → (𝑆 ∈ (𝑃Line𝑄) → (𝑃Line𝑄) = (𝑃Line𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3o 1086  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cn 12266  𝔼cee 28903   Btwn cbtwn 28904   Colinear ccolin 36038  Linecline2 36135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-ee 28906  df-btwn 28907  df-cgr 28908  df-ofs 35984  df-colinear 36040  df-ifs 36041  df-cgr3 36042  df-fs 36043  df-line2 36138
This theorem is referenced by:  linethru  36154
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