Theorem omelesplit 41524

Description: The outer measure of a set 𝐴 is less than or equal to the extended addition of the outer measures of the decomposition induced on 𝐴 by any 𝐸. Step (a) in the proof of Caratheodory's Method, Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omelesplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omelesplit.2	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omelesplit.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omelesplit	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))

Proof of Theorem omelesplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2834	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸)))
4	3	fveq2d 6441	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))))
5		omelesplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		omelesplit.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
7		omelesplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8		ssinss1 4068	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐸) ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ⊆ 𝑋)
10	7	ssdifssd 3977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
11	5, 6, 9, 10	omeunle 41522	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))
12	4, 11	eqbrtrd 4897	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∪ cuni 4660   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ≤ cle 10399   +_𝑒 cxad 12237  OutMeascome 41495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-xadd 12240  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-sum 14801  df-sumge0 41369  df-ome 41496

This theorem is referenced by:  carageniuncl  41529  caragenel2d  41538