Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omelesplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omelesplit 43084
Description: The outer measure of a set 𝐴 is less than or equal to the extended addition of the outer measures of the decomposition induced on 𝐴 by any 𝐸. Step (a) in the proof of Caratheodory's Method, Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omelesplit.1 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omelesplit.2 𝑋 = dom 𝑂
omelesplit.3 (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omelesplit (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))

Proof of Theorem omelesplit
StepHypRef Expression
1 inundif 4411 . . . . 5 ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸)) = 𝐴
21eqcomi 2833 . . . 4 𝐴 = ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))
32a1i 11 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸)))
43fveq2d 6666 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))))
5 omelesplit.1 . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
6 omelesplit.2 . . 3 𝑋 = dom 𝑂
7 omelesplit.3 . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
8 ssinss1 4200 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
107ssdifssd 4106 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
115, 6, 9, 10omeunle 43082 . 2 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∪ (𝐴𝐸))) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
124, 11eqbrtrd 5075 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  cdif 3917  cun 3918  cin 3919  wss 3920   cuni 4825   class class class wbr 5053  dom cdm 5543  cfv 6344  (class class class)co 7150  cle 10675   +𝑒 cxad 12505  OutMeascome 43055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-sup 8904  df-oi 8972  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-n0 11898  df-z 11982  df-uz 12244  df-rp 12390  df-xadd 12508  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-seq 13377  df-exp 13438  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-sumge0 42929  df-ome 43056
This theorem is referenced by:  carageniuncl  43089  caragenel2d  43098
  Copyright terms: Public domain W3C validator