Theorem omelesplit 45906

Description: The outer measure of a set 𝐴 is less than or equal to the extended addition of the outer measures of the decomposition induced on 𝐴 by any 𝐸. Step (a) in the proof of Caratheodory's Method, Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omelesplit.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omelesplit.2	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omelesplit.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omelesplit	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))

Proof of Theorem omelesplit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inundif 4479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸)) = 𝐴
2	1	eqcomi 2737	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸)))
4	3	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))))
5		omelesplit.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
6		omelesplit.2	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
7		omelesplit.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
8		ssinss1 4238	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑋 → (𝐴 ∩ 𝐸) ⊆ 𝑋)
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐸) ⊆ 𝑋)
10	7	ssdifssd 4141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐸) ⊆ 𝑋)
11	5, 6, 9, 10	omeunle 45904	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∖ 𝐸))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))
12	4, 11	eqbrtrd 5170	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ 𝐸))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5678  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ≤ cle 11280   +_𝑒 cxad 13123  OutMeascome 45877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-xadd 13126  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-sum 15666  df-sumge0 45751  df-ome 45878

This theorem is referenced by:  carageniuncl  45911  caragenel2d  45920