![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > csrgbinom | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgbinom.s | โข ๐ = (Baseโ๐ ) |
srgbinom.m | โข ร = (.rโ๐ ) |
srgbinom.t | โข ยท = (.gโ๐ ) |
srgbinom.a | โข + = (+gโ๐ ) |
srgbinom.g | โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) |
srgbinom.e | โข โ = (.gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
csrgbinom | โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpb 1150 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) | |
2 | 1 | adantr 482 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) |
3 | simprl 770 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ด โ ๐) | |
4 | simprr 772 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ต โ ๐) | |
5 | simpl2 1193 | . . 3 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐บ โ CMnd) | |
6 | srgbinom.g | . . . . 5 โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) | |
7 | srgbinom.s | . . . . 5 โข ๐ = (Baseโ๐ ) | |
8 | 6, 7 | mgpbas 19910 | . . . 4 โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
9 | srgbinom.m | . . . . 5 โข ร = (.rโ๐ ) | |
10 | 6, 9 | mgpplusg 19908 | . . . 4 โข ร = (+gโ๐บ) |
11 | 8, 10 | cmncom 19588 | . . 3 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
12 | 5, 3, 4, 11 | syl3anc 1372 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
13 | srgbinom.t | . . 3 โข ยท = (.gโ๐ ) | |
14 | srgbinom.a | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
15 | srgbinom.e | . . 3 โข โ = (.gโ๐บ) | |
16 | 7, 9, 13, 14, 6, 15 | srgbinom 19970 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด))) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
17 | 2, 3, 4, 12, 16 | syl13anc 1373 | 1 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฆ cmpt 5192 โcfv 6500 (class class class)co 7361 0cc0 11059 โ cmin 11393 โ0cn0 12421 ...cfz 13433 Ccbc 14211 Basecbs 17091 +gcplusg 17141 .rcmulr 17142 ฮฃg cgsu 17330 .gcmg 18880 CMndccmn 19570 mulGrpcmgp 19904 SRingcsrg 19925 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5246 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-int 4912 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-se 5593 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-isom 6509 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-of 7621 df-om 7807 df-1st 7925 df-2nd 7926 df-supp 8097 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-1o 8416 df-er 8654 df-map 8773 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-fin 8893 df-fsupp 9312 df-oi 9454 df-card 9883 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-div 11821 df-nn 12162 df-2 12224 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-rp 12924 df-fz 13434 df-fzo 13577 df-seq 13916 df-fac 14183 df-bc 14212 df-hash 14240 df-sets 17044 df-slot 17062 df-ndx 17074 df-base 17092 df-ress 17121 df-plusg 17154 df-0g 17331 df-gsum 17332 df-mre 17474 df-mrc 17475 df-acs 17477 df-mgm 18505 df-sgrp 18554 df-mnd 18565 df-mhm 18609 df-submnd 18610 df-mulg 18881 df-cntz 19105 df-cmn 19572 df-mgp 19905 df-ur 19922 df-srg 19926 |
This theorem is referenced by: crngbinom 20055 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |