MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csrgbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csrgbinom 20186
Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgbinom.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgbinom.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgbinom.a + = (+gโ€˜๐‘…)
srgbinom.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgbinom.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
csrgbinom (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘†,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   โ†‘ ,๐‘˜   ร— ,๐‘˜   + ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘˜)

Proof of Theorem csrgbinom
StepHypRef Expression
1 3simpb 1146 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
21adantr 479 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
3 simprl 769 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
4 simprr 771 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
5 simpl2 1189 . . 3 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
6 srgbinom.g . . . . 5 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
7 srgbinom.s . . . . 5 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
86, 7mgpbas 20094 . . . 4 ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ)
9 srgbinom.m . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
106, 9mgpplusg 20092 . . . 4 ร— = (+gโ€˜๐บ)
118, 10cmncom 19767 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
125, 3, 4, 11syl3anc 1368 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
13 srgbinom.t . . 3 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
14 srgbinom.a . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
15 srgbinom.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
167, 9, 13, 14, 6, 15srgbinom 20185 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘† โˆง (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
172, 3, 4, 12, 16syl13anc 1369 1 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11148   โˆ’ cmin 11484  โ„•0cn0 12512  ...cfz 13526  Ccbc 14303  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  .rcmulr 17243   ฮฃg cgsu 17431  .gcmg 19037  CMndccmn 19749  mulGrpcmgp 20088  SRingcsrg 20140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-fac 14275  df-bc 14304  df-hash 14332  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-mulg 19038  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-mgp 20089  df-ur 20136  df-srg 20141
This theorem is referenced by:  crngbinom  20285
  Copyright terms: Public domain W3C validator