![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > csrgbinom | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgbinom.s | โข ๐ = (Baseโ๐ ) |
srgbinom.m | โข ร = (.rโ๐ ) |
srgbinom.t | โข ยท = (.gโ๐ ) |
srgbinom.a | โข + = (+gโ๐ ) |
srgbinom.g | โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) |
srgbinom.e | โข โ = (.gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
csrgbinom | โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpb 1146 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) | |
2 | 1 | adantr 479 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) |
3 | simprl 769 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ด โ ๐) | |
4 | simprr 771 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ต โ ๐) | |
5 | simpl2 1189 | . . 3 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐บ โ CMnd) | |
6 | srgbinom.g | . . . . 5 โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) | |
7 | srgbinom.s | . . . . 5 โข ๐ = (Baseโ๐ ) | |
8 | 6, 7 | mgpbas 20094 | . . . 4 โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
9 | srgbinom.m | . . . . 5 โข ร = (.rโ๐ ) | |
10 | 6, 9 | mgpplusg 20092 | . . . 4 โข ร = (+gโ๐บ) |
11 | 8, 10 | cmncom 19767 | . . 3 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
12 | 5, 3, 4, 11 | syl3anc 1368 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
13 | srgbinom.t | . . 3 โข ยท = (.gโ๐ ) | |
14 | srgbinom.a | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
15 | srgbinom.e | . . 3 โข โ = (.gโ๐บ) | |
16 | 7, 9, 13, 14, 6, 15 | srgbinom 20185 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด))) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
17 | 2, 3, 4, 12, 16 | syl13anc 1369 | 1 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฆ cmpt 5235 โcfv 6553 (class class class)co 7426 0cc0 11148 โ cmin 11484 โ0cn0 12512 ...cfz 13526 Ccbc 14303 Basecbs 17189 +gcplusg 17242 .rcmulr 17243 ฮฃg cgsu 17431 .gcmg 19037 CMndccmn 19749 mulGrpcmgp 20088 SRingcsrg 20140 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7692 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8174 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-er 8733 df-map 8855 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-fsupp 9396 df-oi 9543 df-card 9972 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-n0 12513 df-z 12599 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-seq 14009 df-fac 14275 df-bc 14304 df-hash 14332 df-sets 17142 df-slot 17160 df-ndx 17172 df-base 17190 df-ress 17219 df-plusg 17255 df-0g 17432 df-gsum 17433 df-mre 17575 df-mrc 17576 df-acs 17578 df-mgm 18609 df-sgrp 18688 df-mnd 18704 df-mhm 18749 df-submnd 18750 df-mulg 19038 df-cntz 19282 df-cmn 19751 df-mgp 20089 df-ur 20136 df-srg 20141 |
This theorem is referenced by: crngbinom 20285 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |