![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > csrgbinom | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
srgbinom.s | โข ๐ = (Baseโ๐ ) |
srgbinom.m | โข ร = (.rโ๐ ) |
srgbinom.t | โข ยท = (.gโ๐ ) |
srgbinom.a | โข + = (+gโ๐ ) |
srgbinom.g | โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) |
srgbinom.e | โข โ = (.gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
csrgbinom | โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 3simpb 1146 | . . 3 โข ((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) | |
2 | 1 | adantr 480 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ SRing โง ๐ โ โ0)) |
3 | simprl 768 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ด โ ๐) | |
4 | simprr 770 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐ต โ ๐) | |
5 | simpl2 1189 | . . 3 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ ๐บ โ CMnd) | |
6 | srgbinom.g | . . . . 5 โข ๐บ = (mulGrpโ๐ ) | |
7 | srgbinom.s | . . . . 5 โข ๐ = (Baseโ๐ ) | |
8 | 6, 7 | mgpbas 20045 | . . . 4 โข ๐ = (Baseโ๐บ) |
9 | srgbinom.m | . . . . 5 โข ร = (.rโ๐ ) | |
10 | 6, 9 | mgpplusg 20043 | . . . 4 โข ร = (+gโ๐บ) |
11 | 8, 10 | cmncom 19718 | . . 3 โข ((๐บ โ CMnd โง ๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
12 | 5, 3, 4, 11 | syl3anc 1368 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด)) |
13 | srgbinom.t | . . 3 โข ยท = (.gโ๐ ) | |
14 | srgbinom.a | . . 3 โข + = (+gโ๐ ) | |
15 | srgbinom.e | . . 3 โข โ = (.gโ๐บ) | |
16 | 7, 9, 13, 14, 6, 15 | srgbinom 20136 | . 2 โข (((๐ โ SRing โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐ โง (๐ด ร ๐ต) = (๐ต ร ๐ด))) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
17 | 2, 3, 4, 12, 16 | syl13anc 1369 | 1 โข (((๐ โ SRing โง ๐บ โ CMnd โง ๐ โ โ0) โง (๐ด โ ๐ โง ๐ต โ ๐)) โ (๐ โ (๐ด + ๐ต)) = (๐ ฮฃg (๐ โ (0...๐) โฆ ((๐C๐) ยท (((๐ โ ๐) โ ๐ด) ร (๐ โ ๐ต)))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฆ cmpt 5224 โcfv 6537 (class class class)co 7405 0cc0 11112 โ cmin 11448 โ0cn0 12476 ...cfz 13490 Ccbc 14267 Basecbs 17153 +gcplusg 17206 .rcmulr 17207 ฮฃg cgsu 17395 .gcmg 18995 CMndccmn 19700 mulGrpcmgp 20039 SRingcsrg 20091 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-iin 4993 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-of 7667 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-supp 8147 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fsupp 9364 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-mre 17539 df-mrc 17540 df-acs 17542 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-submnd 18714 df-mulg 18996 df-cntz 19233 df-cmn 19702 df-mgp 20040 df-ur 20087 df-srg 20092 |
This theorem is referenced by: crngbinom 20234 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |