MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  csrgbinom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem csrgbinom 20137
Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srgbinom.s ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
srgbinom.m ร— = (.rโ€˜๐‘…)
srgbinom.t ยท = (.gโ€˜๐‘…)
srgbinom.a + = (+gโ€˜๐‘…)
srgbinom.g ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
srgbinom.e โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
csrgbinom (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘˜   ๐‘†,๐‘˜   ยท ,๐‘˜   โ†‘ ,๐‘˜   ร— ,๐‘˜   + ,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐บ(๐‘˜)

Proof of Theorem csrgbinom
StepHypRef Expression
1 3simpb 1146 . . 3 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
21adantr 480 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0))
3 simprl 768 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)
4 simprr 770 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐ต โˆˆ ๐‘†)
5 simpl2 1189 . . 3 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ ๐บ โˆˆ CMnd)
6 srgbinom.g . . . . 5 ๐บ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
7 srgbinom.s . . . . 5 ๐‘† = (Baseโ€˜๐‘…)
86, 7mgpbas 20045 . . . 4 ๐‘† = (Baseโ€˜๐บ)
9 srgbinom.m . . . . 5 ร— = (.rโ€˜๐‘…)
106, 9mgpplusg 20043 . . . 4 ร— = (+gโ€˜๐บ)
118, 10cmncom 19718 . . 3 ((๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
125, 3, 4, 11syl3anc 1368 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))
13 srgbinom.t . . 3 ยท = (.gโ€˜๐‘…)
14 srgbinom.a . . 3 + = (+gโ€˜๐‘…)
15 srgbinom.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜๐บ)
167, 9, 13, 14, 6, 15srgbinom 20136 . 2 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘† โˆง (๐ด ร— ๐ต) = (๐ต ร— ๐ด))) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
172, 3, 4, 12, 16syl13anc 1369 1 (((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐บ โˆˆ CMnd โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ต โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ โ†‘ (๐ด + ๐ต)) = (๐‘… ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘) โ†ฆ ((๐‘C๐‘˜) ยท (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โ†‘ ๐ด) ร— (๐‘˜ โ†‘ ๐ต))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13490  Ccbc 14267  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207   ฮฃg cgsu 17395  .gcmg 18995  CMndccmn 19700  mulGrpcmgp 20039  SRingcsrg 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-srg 20092
This theorem is referenced by:  crngbinom  20234
  Copyright terms: Public domain W3C validator