Theorem csrgbinom 20148

Description: The binomial theorem for commutative semirings. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
srgbinom.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
srgbinom.m	⊢ × = (.r‘𝑅)
srgbinom.t	⊢ · = (.g‘𝑅)
srgbinom.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
srgbinom.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
srgbinom.e	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
csrgbinom	⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑆,𝑘   · ,𝑘   ↑ ,𝑘   × ,𝑘   + ,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑘)

Proof of Theorem csrgbinom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simprr 772	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → 𝐺 ∈ CMnd)
6		srgbinom.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
7		srgbinom.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑅)
8	6, 7	mgpbas 20061	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐺)
9		srgbinom.m	. . . . 5 ⊢ × = (.r‘𝑅)
10	6, 9	mgpplusg 20060	. . . 4 ⊢ × = (+g‘𝐺)
11	8, 10	cmncom 19735	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
12	5, 3, 4, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))
13		srgbinom.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝑅)
14		srgbinom.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
15		srgbinom.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
16	7, 9, 13, 14, 6, 15	srgbinom 20147	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴))) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))
17	2, 3, 4, 12, 16	syl13anc 1374	1 ⊢ (((𝑅 ∈ SRing ∧ 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝑁 ↑ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑁C𝑘) · (((𝑁 − 𝑘) ↑ 𝐴) × (𝑘 ↑ 𝐵))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   − cmin 11412  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  Ccbc 14274  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228   Σ_g cgsu 17410  ._gcmg 19006  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  SRingcsrg 20102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-mgp 20057  df-ur 20098  df-srg 20103

This theorem is referenced by:  crngbinom  20251