Theorem diagciso 49861

Description: The diagonal functor is an isomorphism from a category 𝐶 to the category of functors from a terminal category to 𝐶.

It is provable that the inverse of the diagonal functor is the mapped object by the transposed curry of (𝐷 eval_F 𝐶), i.e., ∪ ran (1^st ‘(⟨𝐷, 𝑄⟩ curry_F ((𝐷 eval_F 𝐶) ∘_func (𝐷 swap_F 𝑄)))).

(Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
diagciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
diagciso.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diagciso	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Proof of Theorem diagciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagffth.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		diagffth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		diagffth.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diagciso.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
5	1, 2, 3, 4	diagffth 49860	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)))
6		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6, 2, 1, 4	diag1f1o 49856	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))
8		diagciso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
10	3	fucbas 17892	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘𝑄)
11		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		diagciso.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13	12, 1	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
14	8, 9, 11	catcbas 18030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
15	13, 14	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
16		diagciso.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	2	termccd 49801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
18	3, 17, 1	fuccat 17902	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
19	16, 18	elind 4153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19, 14	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
21		diagciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
22	8, 9, 6, 10, 11, 15, 20, 21	catciso 18040	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄) ↔ (𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)) ∧ (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))))
23	5, 7, 22	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3901  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  Basecbs 17141  Catccat 17592  Isociso 17675   Func cfunc 17783   Full cful 17833   Faith cfth 17834   FuncCat cfuc 17874  CatCatccatc 18027  Δ_funccdiag 18140  TermCatctermc 49794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-hom 17206  df-cco 17207  df-cat 17596  df-cid 17597  df-sect 17676  df-inv 17677  df-iso 17678  df-func 17787  df-idfu 17788  df-cofu 17789  df-full 17835  df-fth 17836  df-nat 17875  df-fuc 17876  df-catc 18028  df-xpc 18100  df-1stf 18101  df-curf 18142  df-diag 18144  df-thinc 49740  df-termc 49795

This theorem is referenced by:  diagcic  49862