Theorem diagciso 50041

Description: The diagonal functor is an isomorphism from a category 𝐶 to the category of functors from a terminal category to 𝐶.

It is provable that the inverse of the diagonal functor is the mapped object by the transposed curry of (𝐷 eval_F 𝐶), i.e., ∪ ran (1^st ‘(⟨𝐷, 𝑄⟩ curry_F ((𝐷 eval_F 𝐶) ∘_func (𝐷 swap_F 𝑄)))).

(Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
diagciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
diagciso.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diagciso	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Proof of Theorem diagciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagffth.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		diagffth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		diagffth.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diagciso.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
5	1, 2, 3, 4	diagffth 50040	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)))
6		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6, 2, 1, 4	diag1f1o 50036	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))
8		diagciso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
9		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
10	3	fucbas 17925	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘𝑄)
11		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		diagciso.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13	12, 1	elind 4131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
14	8, 9, 11	catcbas 18063	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
15	13, 14	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
16		diagciso.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	2	termccd 49981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
18	3, 17, 1	fuccat 17935	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
19	16, 18	elind 4131	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19, 14	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
21		diagciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
22	8, 9, 6, 10, 11, 15, 20, 21	catciso 18073	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄) ↔ (𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)) ∧ (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))))
23	5, 7, 22	mpbir2and 720	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ∩ cin 3883  –1-1-onto→wf1o 6487  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1^st c1st 7931  Basecbs 17174  Catccat 17625  Isociso 17708   Func cfunc 17816   Full cful 17866   Faith cfth 17867   FuncCat cfuc 17907  CatCatccatc 18060  Δ_funccdiag 18173  TermCatctermc 49974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-hom 17239  df-cco 17240  df-cat 17629  df-cid 17630  df-sect 17709  df-inv 17710  df-iso 17711  df-func 17820  df-idfu 17821  df-cofu 17822  df-full 17868  df-fth 17869  df-nat 17908  df-fuc 17909  df-catc 18061  df-xpc 18133  df-1stf 18134  df-curf 18175  df-diag 18177  df-thinc 49920  df-termc 49975

This theorem is referenced by:  diagcic  50042