Theorem diagciso 50165

Description: The diagonal functor is an isomorphism from a category 𝐶 to the category of functors from a terminal category to 𝐶.

It is provable that the inverse of the diagonal functor is the mapped object by the transposed curry of (𝐷 eval_F 𝐶), i.e., ∪ ran (1^st ‘(⟨𝐷, 𝑄⟩ curry_F ((𝐷 eval_F 𝐶) ∘_func (𝐷 swap_F 𝑄)))).

(Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
diagciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
diagciso.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diagciso	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Proof of Theorem diagciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagffth.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		diagffth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		diagffth.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diagciso.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
5	1, 2, 3, 4	diagffth 50164	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)))
6		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6, 2, 1, 4	diag1f1o 50160	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))
8		diagciso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
9		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
10	3	fucbas 17998	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘𝑄)
11		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		diagciso.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13	12, 1	elind 4154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
14	8, 9, 11	catcbas 18136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
15	13, 14	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
16		diagciso.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	2	termccd 50105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
18	3, 17, 1	fuccat 18008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
19	16, 18	elind 4154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19, 14	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
21		diagciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
22	8, 9, 6, 10, 11, 15, 20, 21	catciso 18146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄) ↔ (𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)) ∧ (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))))
23	5, 7, 22	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ∩ cin 3905  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  1^st c1st 7970  Basecbs 17247  Catccat 17698  Isociso 17781   Func cfunc 17889   Full cful 17939   Faith cfth 17940   FuncCat cfuc 17980  CatCatccatc 18133  Δ_funccdiag 18246  TermCatctermc 50098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-hom 17312  df-cco 17313  df-cat 17702  df-cid 17703  df-sect 17782  df-inv 17783  df-iso 17784  df-func 17893  df-idfu 17894  df-cofu 17895  df-full 17941  df-fth 17942  df-nat 17981  df-fuc 17982  df-catc 18134  df-xpc 18206  df-1stf 18207  df-curf 18248  df-diag 18250  df-thinc 50044  df-termc 50099

This theorem is referenced by:  diagcic  50166