Theorem diagciso 50880

Description: The diagonal functor is an isomorphism from a category 𝐶 to the category of functors from a terminal category to 𝐶.

It is provable that the inverse of the diagonal functor is the mapped object by the transposed curry of (𝐷 eval_F 𝐶), i.e., ∪ ran (1^st ‘(⟨𝐷, 𝑄⟩ curry_F ((𝐷 eval_F 𝐶) ∘_func (𝐷 swap_F 𝑄)))).

(Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
diagciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
diagciso.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diagciso	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Proof of Theorem diagciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagffth.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		diagffth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		diagffth.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diagciso.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
5	1, 2, 3, 4	diagffth 50879	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)))
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6, 2, 1, 4	diag1f1o 50872	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)⟶1-1onto(𝐷 Func 𝐶))
8		diagciso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
10	3	fucbas 18164	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘𝑄)
11		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		diagciso.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13	12, 1	elind 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
14	8, 9, 11	catcbas 18302	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
15	13, 14	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
16		diagciso.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	2	termccatd 50817	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
18	3, 17, 1	fuccat 18174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
19	16, 18	elind 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19, 14	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
21		diagciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
22	8, 9, 6, 10, 11, 15, 20, 21	catciso 18312	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄) ↔ (𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)) ∧ (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)⟶1-1onto(𝐷 Func 𝐶))))
23	5, 7, 22	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ⟶1-1ontowf1o 6554  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  1^st c1st 8020  Basecbs 17413  Catccat 17864  Isociso 17947   Func cfunc 18055   Full cful 18105   Faith cfth 18106   FuncCat cfuc 18146  CatCatccatc 18299  Δ_funccdiag 18412  TermCatctermc 50810

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-hom 17478  df-cco 17479  df-cat 17868  df-cid 17869  df-sect 17948  df-inv 17949  df-iso 17950  df-func 18059  df-idfu 18060  df-cofu 18061  df-full 18107  df-fth 18108  df-nat 18147  df-fuc 18148  df-catc 18300  df-xpc 18372  df-1stf 18373  df-curf 18414  df-diag 18416  df-thinc 50756  df-termc 50811

This theorem is used by:  diagcic  50881