Theorem diagciso 49197

Description: The diagonal functor is an isomorphism from a category 𝐶 to the category of functors from a terminal category to 𝐶.

It is provable that the inverse of the diagonal functor is the mapped object by the transposed curry of (𝐷 eval_F 𝐶), i.e., ∪ ran (1^st ‘(⟨𝐷, 𝑄⟩ curry_F ((𝐷 eval_F 𝐶) ∘_func (𝐷swap_F𝑄)))).

(Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
diagciso.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
diagciso.l	⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)

Assertion

Ref	Expression
diagciso	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Proof of Theorem diagciso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		diagffth.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
2		diagffth.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
3		diagffth.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
4		diagciso.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝐶Δfunc𝐷)
5	1, 2, 3, 4	diagffth 49196	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)))
6		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
7	6, 2, 1, 4	diag1f1o 49192	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))
8		diagciso.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
10	3	fucbas 18009	. . 3 ⊢ (𝐷 Func 𝐶) = (Base‘𝑄)
11		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		diagciso.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
13	12, 1	elind 4199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
14	8, 9, 11	catcbas 18147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
15	13, 14	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
16		diagciso.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
17	2	termccd 49151	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
18	3, 17, 1	fuccat 18019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
19	16, 18	elind 4199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
20	19, 14	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
21		diagciso.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐸)
22	8, 9, 6, 10, 11, 15, 20, 21	catciso 18157	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄) ↔ (𝐿 ∈ ((𝐶 Full 𝑄) ∩ (𝐶 Faith 𝑄)) ∧ (1st ‘𝐿):(Base‘𝐶)–1-1-onto→(𝐷 Func 𝐶))))
23	5, 7, 22	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐶𝐼𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3949  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1^st c1st 8013  Basecbs 17248  Catccat 17708  Isociso 17791   Func cfunc 17900   Full cful 17950   Faith cfth 17951   FuncCat cfuc 17991  CatCatccatc 18144  Δ_funccdiag 18258  TermCatctermc 49144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17712  df-cid 17713  df-sect 17792  df-inv 17793  df-iso 17794  df-func 17904  df-idfu 17905  df-cofu 17906  df-full 17952  df-fth 17953  df-nat 17992  df-fuc 17993  df-catc 18145  df-xpc 18218  df-1stf 18219  df-curf 18260  df-diag 18262  df-thinc 49092  df-termc 49145

This theorem is referenced by:  diagcic  49198