Theorem diagcic 50359

Description: Any category 𝐶 is isomorphic to the category of functors from a terminal category to 𝐶. See also the "Properties" section of https://ncatlab.org/nlab/show/terminal+category. Therefore the number of categories isomorphic to a non-empty category is at least the number of singletons, so large (snnex 7766) that these isomorphic categories form a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diagcic	⊢ (𝜑 → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑄)

Proof of Theorem diagcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. 2 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
2		eqid 2766	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		diagciso.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
5	4	catccat 18190	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
7		diagciso.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
8		diagffth.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	7, 8	elind 4156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
10	4, 2, 3	catcbas 18183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
11	9, 10	eleqtrrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
12		diagciso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
13		diagffth.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
14		diagffth.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
15	14	termccd 50298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
16	13, 15, 8	fuccat 18055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
17	12, 16	elind 4156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
18	17, 10	eleqtrrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
19		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐷) = (𝐶Δfunc𝐷)
20	8, 14, 13, 4, 3, 7, 12, 1, 19	diagciso 50358	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶Δfunc𝐷) ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑄))
21	1, 2, 6, 11, 18, 20	brcici 17882	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Catccat 17745  Isociso 17828   ≃_𝑐 ccic 17877   FuncCat cfuc 18027  CatCatccatc 18180  Δ_funccdiag 18293  TermCatctermc 50291

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-sect 17829  df-inv 17830  df-iso 17831  df-cic 17878  df-func 17940  df-idfu 17941  df-cofu 17942  df-full 17988  df-fth 17989  df-nat 18028  df-fuc 18029  df-catc 18181  df-xpc 18253  df-1stf 18254  df-curf 18295  df-diag 18297  df-thinc 50237  df-termc 50292

This theorem is used by: (None)