Theorem diagcic 50474

Description: Any category 𝐶 is isomorphic to the category of functors from a terminal category to 𝐶. See also the "Properties" section of https://ncatlab.org/nlab/show/terminal+category. Therefore the number of categories isomorphic to a non-empty category is at least the number of singletons, so large (snnex 7761) that these isomorphic categories form a proper class. (Contributed by Zhi Wang, 21-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
diagffth.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
diagffth.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
diagffth.q	⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
diagciso.e	⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
diagciso.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
diagciso.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
diagciso.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
diagcic	⊢ (𝜑 → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑄)

Proof of Theorem diagcic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. 2 ⊢ (Iso‘𝐸) = (Iso‘𝐸)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
3		diagciso.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		diagciso.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (CatCat‘𝑈)
5	4	catccat 18203	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐸 ∈ Cat)
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
7		diagciso.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
8		diagffth.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
9	7, 8	elind 4149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
10	4, 2, 3	catcbas 18196	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = (𝑈 ∩ Cat))
11	9, 10	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝐸))
12		diagciso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑈)
13		diagffth.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝐷 FuncCat 𝐶)
14		diagffth.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ TermCat)
15	14	termccd 50413	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
16	13, 15, 8	fuccat 18068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Cat)
17	12, 16	elind 4149	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑈 ∩ Cat))
18	17, 10	eleqtrrd 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐸))
19		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐶Δfunc𝐷) = (𝐶Δfunc𝐷)
20	8, 14, 13, 4, 3, 7, 12, 1, 19	diagciso 50473	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶Δfunc𝐷) ∈ (𝐶(Iso‘𝐸)𝑄))
21	1, 2, 6, 11, 18, 20	brcici 17895	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶( ≃𝑐 ‘𝐸)𝑄)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3901   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Catccat 17758  Isociso 17841   ≃_𝑐 ccic 17890   FuncCat cfuc 18040  CatCatccatc 18193  Δ_funccdiag 18306  TermCatctermc 50406

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-hom 17372  df-cco 17373  df-cat 17762  df-cid 17763  df-sect 17842  df-inv 17843  df-iso 17844  df-cic 17891  df-func 17953  df-idfu 17954  df-cofu 17955  df-full 18001  df-fth 18002  df-nat 18041  df-fuc 18042  df-catc 18194  df-xpc 18266  df-1stf 18267  df-curf 18308  df-diag 18310  df-thinc 50352  df-termc 50407

This theorem is used by: (None)